Локус разреза

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Cut locus» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. )

В дифференциальной геометрии точка разреза точки p на многообразии — это замыкание множества всех других точек на многообразии, которые соединены с p двумя или более различными кратчайшими геодезическими . ^[1] В более общем смысле, точка разреза замкнутого множества X на многообразии — это замыкание множества всех других точек на многообразии, соединенных с X двумя или более различными кратчайшими геодезическими.

На евклидовой плоскости точка p имеет пустое многообразие разрезов, поскольку каждая другая точка соединена с p единственной геодезической (отрезком прямой между точками).

На сфере разрез точки состоит из единственной диаметрально противоположной ей антиподальной точки .

На бесконечно длинном цилиндре сечение точки состоит из линии, противоположной точке.

Пусть X будет границей простого многоугольника на евклидовой плоскости. Тогда разрез X внутри многоугольника — это срединная ось многоугольника . Точки на срединной оси — это центры дисков, которые касаются границы многоугольника в двух или более точках, соответствующих двум или более кратчайшим путям к центру диска.

Пусть x — точка на поверхности выпуклого многогранника P. Тогда разрезное место x на поверхности многогранника известно как хребтовое дерево P относительно x . Это хребтовое дерево обладает тем свойством, что разрезание поверхности вдоль ее ребер разворачивает P в простой плоский многоугольник. Этот многоугольник можно рассматривать как развертку для многогранника.

Зафиксируем точку в полном римановом многообразии и рассмотрим касательное пространство . Стандартный результат заключается в том, что для достаточно малых в кривая, определяемая римановым экспоненциальным отображением , для принадлежащих интервалу, является минимизирующей геодезической , и является единственной минимизирующей геодезической, соединяющей две конечные точки. Здесь обозначает экспоненциальное отображение из . Множество разрезов в касательном пространстве определяется как множество всех векторов в , таких что является минимизирующей геодезической для , но не является минимизирующей для для любого . Таким образом, многообразие разрезов в касательном пространстве является границей множества ^[2] , где обозначает метрику длины , а является евклидовой нормой . Множество разрезов в определяется как изображение многообразия разрезов в касательном пространстве при экспоненциальном отображении в . Таким образом, мы можем интерпретировать многообразие разрезов в как точки в многообразии, в которых геодезические, начинающиеся в , перестают быть минимизирующими.${\displaystyle p}$${\displaystyle (М,г)}$ ${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle т}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \exp _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle t=1+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$ $${\displaystyle \{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}}$$${\displaystyle д}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle М}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle М}$${\displaystyle p}$

Наименьшее расстояние от p до разреза — радиус инъективности в точке p . На открытом шаре этого радиуса экспоненциальное отображение в точке p является диффеоморфизмом касательного пространства к многообразию, и это наибольший такой радиус. Глобальный радиус инъективности определяется как инфимум радиуса инъективности в точке p , по всем точкам многообразия.

Предположим, что находится в разрезе в . Стандартный результат ^[3] заключается в том, что либо (1) существует более одной минимизирующей геодезической, соединяющей с , либо (2) и сопряжены вдоль некоторой геодезической, которая их соединяет. Возможно, что и (1), и (2) выполняются.${\displaystyle д}$${\displaystyle p}$${\displaystyle М}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$

Значимость сечения заключается в том, что функция расстояния от точки является гладкой, за исключением сечения и самого сечения. В частности, имеет смысл отвести градиент и гессиан функции расстояния от сечения и . Эта идея используется в локальной теореме сравнения Лапласа и локальной теореме сравнения Гессе. Они используются в доказательстве локальной версии теоремы Топоногова и многих других важных теорем римановой геометрии.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Для метрического пространства поверхностных расстояний на выпуклом многограннике разрезание многогранника вдоль сечения создает форму, которую можно развернуть на плоскость, исходное разворачивание . ^[4] Процесс разворачивания может выполняться непрерывно, как цветение многогранника. ^[5] Аналогичные методы разрезания вдоль сечения могут быть использованы и для разворачивания многогранников более высокой размерности. ^[6]

Аналогичным образом можно определить разрезное множество подмногообразия риманова многообразия в терминах его нормального экспоненциального отображения.