Текущая алгебра

Определенные коммутационные соотношения между операторами плотности тока в квантовых теориях поля определяют бесконечномерную алгебру Ли, называемую алгеброй токов . ^[1] Математически это алгебры Ли, состоящие из гладких отображений из многообразия в конечномерную алгебру Ли. ^[2]

Первоначальная алгебра токов, предложенная в 1964 году Мюрреем Гелл-Манном , описывала слабые и электромагнитные токи сильно взаимодействующих частиц, адронов , что привело к формуле Адлера–Вайсбергера и другим важным физическим результатам. Основная концепция в эпоху, непосредственно предшествовавшую квантовой хромодинамике , заключалась в том, что даже без знания подробностей лагранжиана, управляющего динамикой адронов, точная кинематическая информация – локальная симметрия – все еще могла быть закодирована в алгебре токов. ^[3]

Коммутаторы, используемые в алгебре токов, представляют собой бесконечномерное расширение жордановой карты , где квантовые поля представляют собой бесконечные массивы осцилляторов.

Современные алгебраические методы по-прежнему являются частью общей основы физики элементарных частиц при анализе симметрий и незаменимы при обсуждении теоремы Голдстоуна .

В неабелевой симметрии Янга–Миллса , где V и A являются компонентами нулевого тока аромата и аксиального тока (плотностями заряда) соответственно, парадигма алгебры токов такова ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ V^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{ c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})\ ,}$и

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{ c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ A^{c}({\vec {x}})\ ,\qquad {\bigl [}\ A^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab} \ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})~,}$

где f — структурные константы алгебры Ли . Чтобы получить осмысленные выражения, они должны быть нормально упорядочены .

Алгебра разрешается в прямую сумму двух алгебр, L и R , после определения

${\displaystyle L^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,\qquad R^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,}$

после чего${\displaystyle {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ L^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ L^{c}({\vec {x}})\ ,\quad {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=0,\quad {\bigl [}\ R^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ R^{c}({\vec {x}})~.}$

Для случая, когда пространство представляет собой одномерную окружность, токовые алгебры возникают естественным образом как центральное расширение алгебры петель , известной как алгебры Каца–Муди или, более конкретно, аффинные алгебры Ли . В этом случае коммутатору и нормальному порядку можно дать очень точное математическое определение в терминах контуров интегрирования на комплексной плоскости, тем самым избегая некоторых формальных трудностей расходимости, обычно встречающихся в квантовой теории поля.

Когда форма Киллинга алгебры Ли сворачивается с коммутатором токов, получается тензор энергии-импульса двумерной конформной теории поля . Когда этот тензор разлагается в ряд Лорана , результирующая алгебра называется алгеброй Вирасоро . ^[6] Это вычисление известно как конструкция Сугавары .

Общий случай формализуется как алгебра вершинных операторов .

• Аффинная алгебра Ли
• Хиральная модель
• карта Иордании
• Алгебра Вирасоро
• Алгебра вершинных операторов
• Алгебра Каца–Муди

• Гелл-Манн, М. (1962). «Симметрии барионов и мезонов». Physical Review . 125 (3): 1067–84. Bibcode :1962PhRv..125.1067G. doi : 10.1103/PhysRev.125.1067 .
• Гелл-Манн, М.; Нееман , Й. , ред. (1964). Восьмеричный путь. WA Benjamin . LCCN  65013009.
• Goldin, GA (2006). Françoise, JP.; Naber, GL; Tsun, TS (ред.). Энциклопедия математической физики . Текущая алгебра. ISBN 978-0-12-512666-3.
• Treiman, SB ; Jackiw, R. ; Gross, DJ (2015) [1972]. Лекции по алгебре токов и ее приложениям . Princeton Series in Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press . doi :10.1515/9781400871506. ISBN 978-1-4008-7150-6– через Де Грюйтера . Образец.

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e