Кристаллографическая точечная группа

В кристаллографии кристаллографическая точечная группа — это трехмерная точечная группа , операции симметрии которой совместимы с трехмерной кристаллографической решеткой . Согласно кристаллографическому ограничению она может содержать только одно-, двух-, трех-, четырех- и шестикратные вращения или ротоинверсии. Это сокращает число кристаллографических точечных групп до 32 (из бесконечности общих точечных групп). Эти 32 группы являются одним и тем же, что и 32 типа морфологических (внешних) кристаллических симметрий, выведенных в 1830 году Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.

В классификации кристаллов каждой пространственной группе соответствует кристаллографическая точечная группа путем "забывания" трансляционных компонентов операций симметрии. То есть, путем превращения винтовых вращений во вращения, скользящих отражений в отражения и перемещения всех элементов симметрии в начало координат. Каждая кристаллографическая точечная группа определяет (геометрический) кристаллический класс кристалла.

Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, направленное изменение физических свойств, обусловленное его структурой, включая оптические свойства, такие как двулучепреломление , или электрооптические свойства, такие как эффект Поккельса .

Точечные группы названы в соответствии с их компонентными симметриями. Существует несколько стандартных обозначений, используемых кристаллографами, минералогами и физиками .

Для соответствия двух систем ниже см. кристаллическую систему .

В нотации Шёнфлиса точечные группы обозначаются буквенным символом с нижним индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:

• C _n ( циклический ) указывает, что группа имеет n -кратную ось вращения. C _nh — это C _n с добавлением зеркальной (отражающей) плоскости, перпендикулярной оси вращения . C _nv — это C _n с добавлением n зеркальных плоскостей, параллельных оси вращения.
• S _2n (от Spiegel , по-немецки зеркало ) обозначает группу, имеющую только ось вращения-отражения 2n -го порядка .
• D _n (для двугранного или двухстороннего) указывает, что группа имеет n -кратную ось вращения плюс n двукратных осей, перпендикулярных этой оси. D _nh имеет, кроме того, зеркальную плоскость, перпендикулярную n -кратной оси. D _nd имеет, в дополнение к элементам D _n , зеркальные плоскости, параллельные n -кратной оси.
• Буква T (от tetrahedron ) указывает на то, что группа имеет симметрию тетраэдра. T _d включает операции несобственного вращения , T исключает операции несобственного вращения, а T _h — это T с добавлением инверсии.
• Буква O (от октаэдра ) указывает на то, что группа имеет симметрию октаэдра с ( O _h ) или без ( O ) несобственных операций (тех, которые изменяют ориентацию).

В силу теоремы о кристаллографических ограничениях n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.

D _4d и D _6d фактически запрещены, поскольку содержат несобственные вращения с n=8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , T _d , T _h , O и O _h составляют 32 кристаллографические точечные группы.

Сокращенная форма обозначения Германа-Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Названия групп:

Кристаллическая семья	Кристаллическая система	Герман-Моген		Шубников [1]	Шёнфлис	Орбифолд	Коксетер	Заказ
		(полный)	(короткий)
Триклинный		1	1	${\displaystyle 1\ }$	С 1	11	[ ] +	1
		1	1	${\displaystyle {\тильда {2}}}$	С i = S 2	×	[2 + ,2 + ]	2
Моноклинный		2	2	${\displaystyle 2\ }$	С 2	22	[2] +	2
		м	м	${\displaystyle м\ }$	С с = С 1ч	*	[ ]	2
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	2/м	${\displaystyle 2:м\ }$	С 2ч	2*	[2,2 + ]	4
Орторомбический		222	222	${\displaystyle 2:2\ }$	Д 2 = В	222	[2,2] +	4
		мм2	мм2	${\displaystyle 2\cdot m\ }$	С 2в	*22	[2]	4
		${\displaystyle {\tfrac {2}{м}}{\tfrac {2}{м}}{\tfrac {2}{м}}}$	М-м-м	${\displaystyle m\cdot 2:m\ }$	D 2h = Vh​	*222	[2,2]	8
Тетрагональный		4	4	${\displaystyle 4\ }$	С 4	44	[4] +	4
		4	4	${\displaystyle {\тильда {4}}}$	С 4	2×	[2 + ,4 + ]	4
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$	4/м	${\displaystyle 4:м\ }$	С 4ч	4*	[2,4 + ]	8
		422	422	${\displaystyle 4:2\ }$	Д 4	422	[4,2] +	8
		4мм	4мм	${\displaystyle 4\cdot m\ }$	С 4в	*44	[4]	8
		4 2м	4 2м	${\displaystyle {\tilde {4}}\cdot м}$	Д 2д = В д	2*2	[2 + ,4]	8
		${\displaystyle {\tfrac {4}{м}}{\tfrac {2}{м}}{\tfrac {2}{м}}}$	4/ммм	${\displaystyle m\cdot 4:m\ }$	Д 4ч	*422	[4,2]	16
Шестиугольный	Треугольный	3	3	${\displaystyle 3\ }$	С 3	33	[3] +	3
		3	3	${\displaystyle {\тильда {6}}}$	С 3и = С 6	3×	[2 + ,6 + ]	6
		32	32	${\displaystyle 3:2\ }$	Д 3	322	[3,2] +	6
		3м	3м	${\displaystyle 3\cdot m\ }$	С 3в	*33	[3]	6
		3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	3 м	${\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}$	Д 3д	2*3	[2 + ,6]	12
	Шестиугольный	6	6	${\displaystyle 6\ }$	С 6	66	[6] +	6
		6	6	${\displaystyle 3:m\ }$	С 3ч	3*	[2,3 + ]	6
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$	6/м	${\displaystyle 6:m\ }$	С 6ч	6*	[2,6 + ]	12
		622	622	${\displaystyle 6:2\ }$	Д 6	622	[6,2] +	12
		6мм	6мм	${\displaystyle 6\cdot m\ }$	С 6в	*66	[6]	12
		6 м2	6 м2	${\displaystyle m\cdot 3:m\ }$	Д 3ч	*322	[3,2]	12
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	6/ммм	${\displaystyle m\cdot 6:m\ }$	Д 6ч	*622	[6,2]	24
Кубический		23	23	${\displaystyle 3/2\ }$	Т	332	[3,3] +	12
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$3	м 3	${\displaystyle {\tilde {6}}/2}$	Т ч	3*2	[3 + ,4]	24
		432	432	${\displaystyle 3/4\ }$	О	432	[4,3] +	24
		4 3м	4 3м	${\displaystyle 3/{\tilde {4}}}$	Т д	*332	[3,3]	24
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	м 3 м	${\displaystyle {\tilde {6}}/4}$	Ой​	*432	[4,3]	48

Многие из кристаллографических точечных групп имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1 , 2 и m содержат различные геометрические операции симметрии (инверсия, вращение и отражение соответственно), но все они имеют структуру циклической группы C ₂ . Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок , но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Точечные группы, которые являются изоморфными, показаны в следующей таблице: ^[2]

Герман-Моген	Шёнфлис	Заказ	Абстрактная группа
1	С 1	1	С 1	${\displaystyle G_{1}^{1}}$
1	С i = S 2	2	С 2	${\displaystyle G_{2}^{1}}$
2	С 2	2
м	С с = С 1ч	2
3	С 3	3	С 3	${\displaystyle G_{3}^{1}}$
4	С 4	4	С 4	${\displaystyle G_{4}^{1}}$
4	С 4	4
2/м	С 2ч	4	Д2 = С2 × С2​	${\displaystyle G_{4}^{2}}$
222	Д 2 = В	4
мм2	С 2в	4
3	С 3и = С 6	6	С 6	${\displaystyle G_{6}^{1}}$
6	С 6	6
6	С 3ч	6
32	Д 3	6	Д 3	${\displaystyle G_{6}^{2}}$
3м	С 3в	6
М-м-м	D 2h = Vh​	8	Д2 × С2​	${\displaystyle G_{8}^{3}}$
4/м	С 4ч	8	С4 × С2​	${\displaystyle G_{8}^{2}}$
422	Д 4	8	Д 4	${\displaystyle G_{8}^{4}}$
4мм	С 4в	8
4 2м	Д 2д = В д	8
6/м	С 6ч	12	С 6 × С 2	${\displaystyle G_{12}^{2}}$
23	Т	12	А 4	${\displaystyle G_{12}^{5}}$
3 м	Д 3д	12	Д 6	${\displaystyle G_{12}^{3}}$
622	Д 6	12
6мм	С 6в	12
6 м2	Д 3ч	12
4/ммм	Д 4ч	16	Д 4 × С 2	${\displaystyle G_{16}^{9}}$
6/ммм	Д 6ч	24	Д 6 × С 2	${\displaystyle G_{24}^{5}}$
м 3	Т ч	24	А 4 × С 2	${\displaystyle G_{24}^{10}}$
432	О	24	С 4	${\displaystyle G_{24}^{7}}$
4 3м	Т д	24
м 3 м	Ой​	48	С4 × С2​	${\displaystyle G_{48}^{7}}$

В этой таблице используются циклические группы (C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , C ₆ ), диэдральные группы (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆ ), одна из знакопеременных групп (A ₄ ) и одна из симметрических групп (S ₄ ). Здесь символ " × " обозначает прямое произведение .

1. Исключите тип решетки Браве .
2. Преобразовать все элементы симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии. (Плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винтов преобразуются в простые оси вращения.)
3. Оси вращения, оси ротоинверсии и плоскости зеркального отражения остаются неизменными.

• Молекулярная симметрия
• Группа точек
• Космическая группа
• Точечные группы в трех измерениях
• Кристаллическая система

• Символы точечной группы в Международных таблицах по кристаллографии (2006). Том А, гл. 12.1, стр. 818-820
• Названия и символы 32 классов кристаллов в Международных таблицах по кристаллографии (2006). Том А, гл. 10.1, стр. 794
• Иллюстрированный обзор 32 групп