Криптоморфизм

В математике два объекта, особенно системы аксиом или семантики для них, называются криптоморфными , если они эквивалентны, но не являются очевидно эквивалентными. В частности, два определения или аксиоматизации одного и того же объекта являются «криптоморфными», если не очевидно, что они определяют один и тот же объект. Примеры криптоморфных определений изобилуют в теории матроидов , а другие можно найти в других местах, например, в теории групп определение группы с помощью одной операции деления, которая, очевидно, не эквивалентна обычным трем «операциям» элемента тождества, инверсии и умножения.

Это слово является игрой слов на основе множества морфизмов в математике, но «криптоморфизм» имеет лишь весьма отдаленное отношение к « изоморфизму », « гомоморфизму » или «морфизмам». Эквивалентность в криптоморфизме, если она не является фактической идентичностью, может быть неформальной или может быть формализована в терминах биекции или эквивалентности категорий между математическими объектами, определяемыми двумя системами криптоморфных аксиом.

Термин был придуман Гарретом Биркгоффом до 1967 года для использования в третьем издании его книги Теория решеток . Биркгофф не дал ему формального определения, хотя другие работающие в этой области с тех пор предприняли некоторые попытки.

Его неформальный смысл был популяризирован (и значительно расширен) Джан-Карло Ротой в контексте теории матроидов : существуют десятки эквивалентных аксиоматических подходов к матроидам, но две разные системы аксиом часто выглядят совершенно по-разному.

В своей книге 1997 года «Нескромные мысли » Рота описывает ситуацию следующим образом:

Как и многие другие великие идеи, теория матроидов была изобретена одним из великих американских пионеров, Хасслером Уитни . Его статья, которая до сих пор является лучшим введением в эту тему, наглядно раскрывает уникальную особенность этой области, а именно исключительное разнообразие криптоморфных определений для матроида, которые досадно не связаны друг с другом и демонстрируют совершенно разные математические родословные. Это как если бы кто-то попытался сжать все тенденции современной математики в одну конечную структуру, подвиг, который любой бы априори счел невозможным, если бы не тот факт, что матроиды существуют.

Хотя в математике за пределами теории матроидов и универсальной алгебры существует множество криптоморфных концепций , это слово не прижилось среди математиков в целом. Однако оно довольно широко используется среди исследователей теории матроидов.

• Комбинаторный класс , эквивалентность среди комбинаторных задач перечисления, намекающая на существование криптоморфизма

• Биркгоф, Г.: Теория решеток , 3-е издание. Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. XXV. 1967.
• Крапо, Х. и Рота, Г.-К.: Об основах комбинаторной теории: Комбинаторные геометрии. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. 1970.
• Элкинс, Джеймс: Глава «Криптоморфы» в книге «Почему наши изображения — головоломки?: О современных истоках сложности изображений» , 1999 г.
• Рота, Г.-К.: Нескромные мысли , Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. 1997.
• Уайт, Н., редактор: Теория матроидов , Энциклопедия математики и ее приложений, 26. Cambridge University Press, Кембридж. 1986.