Кросс-спектр

В анализе временных рядов кросс -спектр используется как часть частотного анализа кросс -корреляции или кросс-ковариации между двумя временными рядами.

Определение

Пусть представим пару случайных процессов , которые совместно являются стационарными в широком смысле с функциями автоковариации и и функцией взаимной ковариации . Тогда взаимный спектр определяется как преобразование Фурье [1] ( Х т , И т ) {\displaystyle (X_{t},Y_{t})} γ х х {\displaystyle \гамма _{xx}} γ у у {\displaystyle \гамма _{yy}} γ х у {\displaystyle \гамма _{ху}} Г х у {\displaystyle \Гамма _{xy}} γ х у {\displaystyle \гамма _{ху}}

Г х у ( ф ) = Ф { γ х у } ( ф ) = ∑ τ = − ∞ ∞ γ х у ( τ ) е − 2 π я τ ф , {\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty } \,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}

где

γ х у ( τ ) = Э ⁡ [ ( х т − μ х ) ( у т + τ − μ у ) ] {\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]} .

Кросс-спектр имеет представление в виде разложения на (i) его действительную часть (коспектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

Г х у ( ф ) = Λ х у ( ф ) − я Ψ х у ( ф ) , {\displaystyle \Гамма _{xy}(f)=\Лямбда _{xy}(f)-i\Пси _{xy}(f),}

и (ii) в полярных координатах

Г х у ( ф ) = А х у ( ф ) е я ϕ х у ( ф ) . {\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}

Здесь амплитудный спектр определяется выражением А х у {\displaystyle A_{xy}}

А х у ( ф ) = ( Λ х у ( ф ) 2 + Ψ х у ( ф ) 2 ) 1 2 , {\displaystyle A_{xy}(f)=(\Лямбда _{xy}(f)^{2}+\Пси _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}

а фазовый спектр определяется выражением Ф х у {\displaystyle \Phi _{xy}}

{ загар − 1 ⁡ ( Ψ х у ( ф ) / Λ х у ( ф ) ) если  Ψ х у ( ф ) ≠ 0  и  Λ х у ( ф ) ≠ 0 0 если  Ψ х у ( ф ) = 0  и  Λ х у ( ф ) > 0 ± π если  Ψ х у ( ф ) = 0  и  Λ х у ( ф ) < 0 π / 2 если  Ψ х у ( ф ) > 0  и  Λ х у ( ф ) = 0 − π / 2 если  Ψ х у ( ф ) < 0  и  Λ х у ( ф ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{если }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ и }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{если }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ и }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{если }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ и }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{если }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ и }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\пи /2&{\text{если }}\Пси _{xy}(f)<0{\text{ и }}\Лямбда _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}

Квадратичный спектр когерентности

Квадратичный спектр когерентности определяется выражением

к х у ( ф ) = А х у 2 Г х х ( ф ) Г у у ( ф ) , {\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}

который выражает амплитудный спектр в безразмерных единицах.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ фон Шторх, Х.; Ф. В. Цвирс (2001). Статистический анализ в исследованиях климата . Кембриджский университет Pr. ISBN 0-521-01230-9.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cross-spectrum&oldid=1096411297"