Критическое измерение

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Critical dimension» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В ренормгрупповом анализе фазовых переходов в физике критическая размерность — это размерность пространства, при которой меняется характер фазового перехода. Ниже нижней критической размерности фазовый переход отсутствует. Выше верхней критической размерности критические показатели теории становятся такими же, как в теории среднего поля . Элегантный критерий для получения критической размерности в теории среднего поля принадлежит В. Гинзбургу .

Поскольку группа перенормировки устанавливает связь между фазовым переходом и квантовой теорией поля , это имеет последствия для последней и для нашего более широкого понимания перенормировки в целом. Выше верхнего критического измерения квантовая теория поля, которая принадлежит модели фазового перехода, является теорией свободного поля . Ниже нижнего критического измерения нет теории поля, соответствующей модели.

В контексте теории струн значение более ограничено: критическое измерение — это измерение, в котором теория струн является последовательной, предполагая постоянный дилатонный фон без дополнительных мешающих перестановок от эффектов фонового излучения. Точное число может быть определено требуемым сокращением конформной аномалии на мировом листе ; оно равно 26 для теории бозонных струн и 10 для теории суперструн .

Определение верхней критической размерности теории поля является вопросом линейной алгебры . Имеет смысл формализовать процедуру, поскольку она дает приближение низшего порядка для масштабирования и существенный вход для группы перенормировки . Она также раскрывает условия, необходимые для того, чтобы иметь критическую модель в первую очередь.

Лагранжиан может быть записан как сумма членов, каждый из которых состоит из интеграла по моному координат и полей . Примерами являются стандартная -модель и изотропная трикритическая точка Лифшица с лагранжианами${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \фи _{я}}$${\displaystyle \фи ^{4}}$

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

см. также рисунок справа. Эта простая структура может быть совместима с масштабной инвариантностью при изменении масштаба координат и полей с коэффициентом согласно${\displaystyle b}$

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

Время здесь не выделено — это просто еще одна координата: если лагранжиан содержит переменную времени, то эта переменная должна быть перемасштабирована как с некоторой постоянной экспонентой . Цель состоит в том, чтобы определить набор экспонент .${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$${\displaystyle z=-[t]}$${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$

Один показатель степени, скажем , может быть выбран произвольно, например . На языке размерного анализа это означает, что показатели степени учитывают факторы волнового вектора ( обратную длину ). Таким образом, каждый моном лагранжиана приводит к однородному линейному уравнению для показателей . Если в лагранжиане есть (неэквивалентные) координаты и поля, то такие уравнения составляют квадратную матрицу. Если бы эта матрица была обратимой, то существовало бы только тривиальное решение .${\displaystyle [x_{1}]}$${\displaystyle [x_{1}]=-1}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k=1/L_{1}}$${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N=0}$

Условие нетривиального решения дает уравнение между размерностями пространства, и это определяет верхнюю критическую размерность (при условии, что в лагранжиане есть только одна переменная размерность ). Переопределение координат и полей теперь показывает, что определение масштабных показателей эквивалентно размерному анализу относительно волнового вектора , при этом все константы связи, встречающиеся в лагранжиане, становятся безразмерными. Безразмерные константы связи являются техническим признаком верхней критической размерности.${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

Наивное масштабирование на уровне лагранжиана не соответствует напрямую физическому масштабированию, поскольку для придания смысла теории поля и интегралу по траектории требуется обрезание . Изменение масштаба длины также изменяет число степеней свободы. Это усложнение учитывается группой перенормировки . Главный результат в верхнем критическом измерении заключается в том, что масштабная инвариантность остается справедливой для больших факторов , но с дополнительными факторами в масштабировании координат и полей.${\displaystyle b}$${\displaystyle ln(b)}$

Что происходит ниже или выше, зависит от того, интересуют ли нас большие расстояния ( статистическая теория поля ) или короткие расстояния ( квантовая теория поля ). Квантовые теории поля тривиальны (сходятся) ниже и не перенормируемы выше . ^[1] Статистические теории поля тривиальны (сходятся) выше и перенормируемы ниже . В последнем случае возникают «аномальные» вклады в наивные масштабные показатели . Эти аномальные вклады в эффективные критические показатели исчезают в верхнем критическом измерении.${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle N}$

Поучительно увидеть, как масштабная инвариантность в верхнем критическом измерении становится масштабной инвариантностью ниже этого измерения. Для малых внешних волновых векторов вершинные функции приобретают дополнительные показатели, например . Если эти показатели вставляются в матрицу (которая имеет значения только в первом столбце), условие масштабной инвариантности становится . Это уравнение может быть удовлетворено только в том случае, если аномальные показатели вершинных функций каким-либо образом взаимодействуют. Фактически, вершинные функции зависят друг от друга иерархически. Одним из способов выражения этой взаимозависимости являются уравнения Швингера–Дайсона .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$${\displaystyle A(d)}$${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$

Наивное масштабирование при , таким образом, важно как приближение нулевого порядка. Наивное масштабирование в верхнем критическом измерении также классифицирует члены лагранжиана как релевантные, нерелевантные или маргинальные. Лагранжиан совместим с масштабированием, если - и -экспоненты лежат на гиперплоскости, примеры см. на рисунке выше. — нормальный вектор этой гиперплоскости.${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle N}$

Нижняя критическая размерность фазового перехода данного класса универсальности — это последняя размерность, для которой этот фазовый переход не происходит, если размерность увеличивать, начиная с .${\displaystyle d_{L}}$${\displaystyle d=1}$

Термодинамическая устойчивость упорядоченной фазы зависит от энтропии и энергии. Количественно это зависит от типа доменных стенок и их флуктуационных мод. По-видимому, не существует универсального формального способа вывода нижней критической размерности теории поля. Нижние границы могут быть получены с помощью аргументов статистической механики .

Рассмотрим сначала одномерную систему с ближними взаимодействиями. Создание доменной стенки требует фиксированного количества энергии . Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на . Это изменение энтропии должно сравниваться с энтропией самой доменной стенки. ^[2] В системе длины существуют положения для доменной стенки, приводящие (согласно принципу Больцмана ) к приросту энтропии . При ненулевой температуре и достаточно большом прирост энтропии всегда доминирует, и, таким образом, в одномерных системах с ближними взаимодействиями при . Таким образом, пространственная размерность является нижней границей для нижней критической размерности таких систем.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L/a}$${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{1}=1}$

Более сильная нижняя граница может быть получена с помощью аналогичных аргументов для систем с короткодействующими взаимодействиями и параметром порядка с непрерывной симметрией. В этом случае теорема Мермина–Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка обращается в нуль при , и, таким образом, нет фазового перехода обычного типа при и ниже.${\displaystyle d_{L}=2}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{L}=2}$

Для систем с подавленным беспорядком может быть актуален критерий, предложенный Имри и Ма ^[3] . Эти авторы использовали критерий для определения нижней критической размерности случайных магнитов поля.

• Kanon: бесплатная программа для Windows, позволяющая определить критический размер, с примерами, онлайн-справкой и математическими подробностями.