Теорема Крамера–Вольда

В математике теорема Крамера –Вольда в теории мер утверждает, что вероятностная мера Бореля на однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Она используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда .${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Позволять

${\displaystyle {X}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})}$

и

${\displaystyle \;{X}=(X_{1},\точки ,X_{k})}$

быть случайными векторами размерности  k . Тогда сходится по распределению к тогда и только тогда, когда:${\displaystyle {X}_{n}}$ ${\displaystyle {X}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\overset {D}{\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

для каждого , то есть, если каждая фиксированная линейная комбинация координат сходится по распределению к соответствующей линейной комбинации координат . ^[1]${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle {X}_{n}}$${\displaystyle {X}}$

Если принимает значения в , то утверждение также верно с . ^[2]${\displaystyle {X}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{k}}$${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} _{+}^{k}}$

• В данной статье использованы материалы теоремы Крамера-Вольда из PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-00710-4.
• Крамер, Харальд; Уолд, Герман (1936). «Некоторые теоремы о функциях распределения». Журнал Лондонского математического общества . 11 (4): 290–294. doi :10.1112/jlms/s1-11.4.290.

• Проект «Евклид»: «Когда вероятностная мера определяется бесконечным числом проекций?»

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е