Теорема Крамера (большие отклонения)

Теорема Крамера является фундаментальным результатом в теории больших отклонений , подразделе теории вероятностей . Она определяет функцию скорости ряда независимых случайных величин . Слабая версия этого результата была впервые показана Харальдом Крамером в 1938 году.

Логарифмическая функция генерации моментов (которая является функцией генерации кумулянтов ) случайной величины определяется как:

${\displaystyle \Lambda (t)=\log \operatorname {E} [\exp(tX_{1})].}$

Пусть — последовательность независимых действительных случайных величин с конечной логарифмической функцией-производителем моментов, т.е. для всех .${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки }$${\displaystyle \Lambda (t)<\infty }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Тогда преобразование Лежандра :${\displaystyle \Лямбда}$

${\displaystyle \Lambda ^{*}(x):=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left(tx-\Lambda (t)\right)}$

удовлетворяет,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)}$

для всех${\displaystyle x>\operatorname {E} [X_{1}].}$

В терминологии теории больших отклонений результат можно переформулировать следующим образом:

Если — ряд независимых случайных величин, то распределения удовлетворяют принципу больших отклонений с функцией скорости .${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки }$${\displaystyle \left({\mathcal {L}}({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Лямбда ^{*}}$

• Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. С. 508. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
• «Теорема Крамера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]