алгеброид Куранта

В дифференциальной геометрии , области математики , алгеброид Куранта — это векторное расслоение вместе со скалярным произведением и совместимой скобкой, более общей, чем скобка алгеброида Ли .

Он назван в честь Теодора Куранта , который неявно разработал в 1990 году ^[1] стандартный прототип алгеброида Куранта посредством открытия им кососимметричной скобки на , называемой сегодня скобкой Куранта , которая не удовлетворяет тождеству Якоби. Общее понятие алгеброида Куранта было введено Чжан-Джу Лю, Аланом Вайнштейном и Пин Сюй в их исследовании двойников биалгеброидов Ли в 1997 году. ^[2]${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

Алгеброид Куранта состоит из данных: векторного расслоения со скобкой , невырожденного послойного внутреннего произведения и отображения расслоения (называемого якорем), подчиняющегося следующим аксиомам:${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\Гамма E\умножить на \Гамма E\до \Гамма E}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\to M\times \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho :E\to TM}$

1. Идентичность Якоби:${\displaystyle [\phi ,[\chi ,\psi ]] = [[\phi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\phi ,\psi ]]}$
2. Правило Лейбница:${\displaystyle [\phi,f\psi ]=\rho (\phi)f\psi +f[\phi,\psi ]}$
3. Препятствие к кососимметричности:${\displaystyle [\phi ,\psi ]+[\psi ,\phi ]={\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$
4. Инвариантность внутреннего произведения под скобкой:${\displaystyle \rho (\phi )\langle \psi ,\chi \rangle =\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +\langle \psi ,[\phi ,\chi ]\rangle }$

где являются сечениями и является гладкой функцией на базовом многообразии . Отображение является композицией с дифференциалом де Рама, двойственным отображением и изоморфизмом, индуцированным скалярным произведением.${\displaystyle \phi ,\chi ,\psi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$${\displaystyle \kappa ^{-1}\rho ^{T}d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$${\displaystyle d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle \rho ^{T}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle E\to E^{*}}$

Можно дать альтернативное определение, чтобы сделать скобку кососимметричной :

${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]={\tfrac {1}{2}}{\big (}[\phi ,\psi ]-[\psi ,\phi ]{\big .})}$

Это больше не удовлетворяет аксиоме тождества Якоби, приведенной выше. Вместо этого оно удовлетворяет гомотопическому тождеству Якоби.

${\displaystyle [[\phi ,[[\psi ,\chi ]]\,]]+{\text{cycl.}}=DT(\phi ,\psi ,\chi )}$

где находится${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\phi ,\psi ,\chi )={\frac {1}{3}}\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +{\text{cycl.}}}$

Правило Лейбница и инвариантность скалярного произведения модифицируются соотношением , а нарушение кососимметрии заменяется аксиомой ${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]=[\phi ,\psi ]-{\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$

${\displaystyle \rho \circ D=0}$

Кососимметричная скобка вместе с выводом и якобиатором образуют сильно гомотопную алгебру Ли.${\displaystyle [[\cdot ,\cdot ]]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle T}$

Скобка не является кососимметричной, как можно видеть из третьей аксиомы. Вместо этого она удовлетворяет определенному тождеству Якоби (первая аксиома) и правилу Лейбница (вторая аксиома). Из этих двух аксиом можно вывести, что якорное отображение является морфизмом скобок: ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho [\phi ,\psi ]=[\rho (\phi ),\rho (\psi )].}$

Четвертое правило — инвариантность внутреннего произведения под скобкой. Поляризация приводит к

${\displaystyle \rho (\phi )\langle \chi ,\psi \rangle =\langle [\phi ,\chi ],\psi \rangle +\langle \chi ,[\phi ,\psi ]\rangle .}$

Примером алгеброида Куранта является скобка Дорфмана ^[3] на прямой сумме с поворотом, введенным Шеверой в 1988 году ^[4] , определяемым как:${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]:=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -\iota _{Y}d\xi +\iota _{X}\iota _{Y}H)}$

где — векторные поля, — 1-формы, а — замкнутая 3-форма, скручивающая скобку. Эта скобка используется для описания интегрируемости обобщенных комплексных структур .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \xi ,\eta }$${\displaystyle H}$

Более общий пример возникает из алгеброида Ли, индуцированный дифференциал которого на будет записан как снова. Затем используйте ту же формулу, что и для скобки Дорфмана с A -3- формой , замкнутой относительно .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H}$${\displaystyle d}$

Другим примером алгеброида Куранта является квадратичная алгебра Ли, т.е. алгебра Ли с инвариантным скалярным произведением. Здесь базовое многообразие — это просто точка, и поэтому отображение якоря (и ) тривиально.${\displaystyle D}$

Пример, описанный в статье Вайнштейна и др., исходит из биалгеброида Ли: если — алгеброид Ли (с якорем и скобкой ), то его двойственный — алгеброид Ли (индуцирующий дифференциал на ) и (где в правой части вы расширяете скобку до , используя градуированное правило Лейбница). Это понятие симметрично относительно и (см. Ройтенберг). Здесь с якорем и скобка является косой симметризацией вышеприведенного относительно и (эквивалентно относительно и ):${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle [.,.]_{A}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle d_{A^{*}}}$${\displaystyle \wedge ^{*}A}$${\displaystyle d_{A^{*}}[X,Y]_{A}=[d_{A^{*}}X,Y]_{A}+[X,d_{A^{*}}Y]_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \wedge ^{*}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle E=A\oplus A^{*}}$${\displaystyle \rho (X+\alpha )=\rho _{A}(X)+\rho _{A^{*}}(\alpha )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=([X,Y]_{A}+{\mathcal {L}}_{\alpha }^{A^{*}}Y-\iota _{\beta }d_{A^{*}}X)+([\alpha ,\beta ]_{A^{*}}+{\mathcal {L}}_{X}^{A}\beta -\iota _{Y}d_{A}\alpha )}$.

Для заданного алгеброида Куранта со скалярным произведением разделенной сигнатуры (например, стандартной ) структура Дирака является максимально изотропным интегрируемым векторным подрасслоением , т.е.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$${\displaystyle L\to M}$

${\displaystyle \langle L,L\rangle \equiv 0}$,

${\displaystyle \mathrm {rk} \,L={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rk} \,E}$,

${\displaystyle [\Gamma L,\Gamma L]\subset \Gamma L}$.

Как открыл Курант и параллельно Дорфман, график 2-формы максимально изотропен и, более того, интегрируем тогда и только тогда, когда , т.е. 2-форма замкнута относительно дифференциала де Рама, т.е. является предсимплектической структурой.${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$${\displaystyle d\omega =0}$

Второй класс примеров возникает из бивекторов , график которых максимально изотропен и интегрируем тогда и только тогда, когда , т.е. является бивектором Пуассона на .${\displaystyle \Pi \in \Gamma (\wedge ^{2}TM)}$${\displaystyle [\Pi ,\Pi ]=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$

Если задан алгеброид Куранта со внутренним произведением разделенной сигнатуры, обобщенная комплексная структура является структурой Дирака в комплексифицированном алгеброиде Куранта с дополнительным свойством ${\displaystyle L\to M}$

${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=0}$

где означает комплексное сопряжение относительно стандартной комплексной структуры при комплексификации.${\displaystyle {\bar {\ }}}$

Как подробно исследовал Гуалтьери ^[5], обобщенные комплексные структуры позволяют изучать геометрию, аналогичную комплексной геометрии .

Примерами являются, помимо предсимплектических и пуассоновых структур, также граф комплексной структуры .${\displaystyle J:TM\to TM}$

• Ройтенберг, Дмитрий (1999). «Алгеброиды Куранта, производные скобки и даже симплектические супермногообразия». arXiv : math.DG/9910078 .