Теорема Конвея о круге
Геометрическое построение, основанное на продолжении сторон треугольника.

Геометрическая диаграмма, изображающая круг внутри треугольника внутри большего круга.
Окружность Конвея треугольника с шестью концентрическими точками (сплошная черная), вписанной окружностью треугольника ( штриховая серая) и центром обеих окружностей (белая); сплошные и пунктирные отрезки линий одного цвета имеют одинаковую длину.

В планарной геометрии теорема Конвея об окружности гласит, что если стороны, встречающиеся в каждой вершине треугольника , удлинить на длину противоположной стороны, то шесть конечных точек трех полученных отрезков прямой лежат на окружности , центр которой является инцентром треугольника. Окружность, на которой лежат эти шесть точек, называется окружностью Конвея треугольника. [1] [2] [3] Теорема и окружность названы в честь математика Джона Хортона Конвея .

Доказательство

сегменты одинакового цвета имеют одинаковую длину △ я Ф с П а ≅ △ я Ф с В б ≅ △ я Ф а П б ≅ △ я Ф а В с ≅ △ я Ф б П с ≅ △ я Ф б В а ⇒ | я П а | = | я В а | = | я П б | = | я В б | = | я П с | = | я В с | {\displaystyle {\begin{aligned}\triangle IF_{c}P_{a}&\cong \triangle IF_{c}Q_{b}\cong \triangle IF_{a}P_{b}\\&\cong \triangle IF_{a}Q_{c}\cong \triangle IF_{b}P_{c}\\&\cong \triangle IF_{b}Q_{a}\\\Rightarrow \,|IP_{a}|&=|IQ_{a}|=|IP_{b}|=|IQ_{b}|\\&=|IP_{c}|=|IQ_{c}|\end{aligned}}}

Пусть I будет центром вписанной окружности треугольника ABC , r — его радиусом, а F a , F b и F c — тремя точками, в которых вписанная окружность касается сторон треугольника a , b и c . Поскольку (продолженные) стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности, то IF a , IF b и IF c перпендикулярны a , b и c . Кроме того, для отрезков выполняются следующие равенства. |AF c |=|AF b |, |BF c |=|BF a |, |CF a |=|CF b |. При этом шесть треугольников IF c P a , IF c Q b , IF a P b , IF a Q c , IF b Q a и IF b P c имеют сторону длиной | AF c |+| BF c |+| CF a | и сторону длиной r с прямым углом между ними. Это означает, что по теореме о сравнении треугольников SAS все шесть треугольников равны, что дает | IP a |=| IQ a |=| IP b |=| IQ b |=| IP c |=| IQ c |. Таким образом, шесть точек P a , Q a , P b , Q b , P c и Q c находятся на одинаковом расстоянии от центра треугольника I , то есть они лежат на общей окружности с центром I .

Дополнительные свойства

Радиус окружности Конвея равен

r 2 + s 2 = a 2 b + a b 2 + b 2 c + b c 2 + a 2 c + a c 2 + a b c a + b + c {\displaystyle {\sqrt {r^{2}+s^{2}}}={\sqrt {\frac {a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}+abc}{a+b+c}}}}

где и — радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника. [3] r {\displaystyle r} s {\displaystyle s}

Обобщение

Теорема Конвея об окружности как частный случай обобщения, называемого «теоремой о делителях сторон» (Вильерс) или «теоремой о стеклоочистителях» (Польстер))

Окружность Конвея является частным случаем более общей окружности для треугольника, которая может быть получена следующим образом: дан любой △ABC с произвольной точкой P на прямой AB. Построить BQ = BP, CR = CQ, AS = AR, BT = BS, CU = CT. Тогда AU = AP, и PQRSTU является вписанным. [4]

Если поместить точку P на расширенную сторону треугольника AB так, чтобы BP=b и BP находилась полностью вне треугольника, то приведенные выше построения приводят к теореме Конвея об окружности.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "Джон Хортон Конвей". www.cardcolm.org . Архивировано из оригинала 20 мая 2020 г. Получено 29 мая 2020 г.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Conway Circle". MathWorld . Получено 29 мая 2020 г.
  3. ^ аб Франсиско Хавьер Гарсиа Капитан (2013). «Обобщение круга Конвея» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 191–195 .
  4. ^ Майкл де Вильерс (2023). «Теорема Конвея об окружности как частный случай более общей теоремы о делителях сторон». Изучение и преподавание математики (34): 37–42 .
  • Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия треугольных центров».
  • Колин Беверидж: Круг Конвея, доказательство без слов. The Aperiodical, 07 мая 2020 г.
  • Колин Беверидж, Элизабет А. Уильямс: Теорема Конвея об окружности: доказательство, на этот раз словами. The Aperiodical, 11 июня 2020 г. (Видео, 9:12 мин.)
  • Де Вильерс, Майкл. «Теорема Конвея об окружности как частный случай теоремы о боковом делителе (дворнике)». dynamicmathematicslearning.com .
  • Польстер, Буркард (6 апреля 2024 г.). «Ирис Конвея и теорема дворника». Матолог . Ютуб.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Conway_circle_theorem&oldid=1242225577"