Группа конвергенции

В математике группа сходимости или дискретная группа сходимости — это группа, действующая посредством гомеоморфизмов на компактном метризуемом пространстве таким образом, что обобщает свойства действия группы Клейниана посредством преобразований Мёбиуса на идеальной границе гиперболического 3-пространства . Понятие группы сходимости было введено Герингом и Мартином (1987) ^[1] и с тех пор нашло широкое применение в геометрической топологии , квазиконформном анализе и геометрической теории групп .${\displaystyle \Гамма}$ ${\displaystyle М}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Пусть будет группой, действующей гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве . Это действие называется действием сходимости или дискретным действием сходимости (и тогда называется группой сходимости или дискретной группой сходимости для этого действия), если для каждой бесконечной различной последовательности элементов существуют подпоследовательность и точек такие, что отображения сходятся равномерно на компактных подмножествах к постоянному отображению, отправляющему в . Здесь равномерная сходимость на компактных подмножествах означает, что для каждой открытой окрестности в и каждого компакта существует индекс такой, что для каждого . Обратите внимание, что «полюса», связанные с подпоследовательностью, не обязаны быть различными.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \gamma _ {n} \in \Gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {n_ {k}}, k = 1,2, \ dots }$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}}$${\displaystyle M\setminus \{a\}}$${\displaystyle б}$${\displaystyle U}$${\displaystyle б}$${\displaystyle М}$${\displaystyle K\subset M\setminus \{a\}}$${\displaystyle k_{0}\geq 1}$${\displaystyle k\geq k_{0},}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U}$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \gamma _{n_{k}}}$

Приведенное выше определение группы сходимости допускает полезную эквивалентную переформулировку в терминах действия на «пространстве различных троек» . Для множества обозначим , где . Множество называется «пространством различных троек» для .${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \Тета (М):=M^{3}\setminus \Дельта (М)}$${\displaystyle \Дельта (М)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}}$${\displaystyle \Тета (М)}$${\displaystyle М}$

Тогда, как известно, имеет место следующая эквивалентность: ^[2]

Пусть — группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве с по крайней мере двумя точками. Тогда это действие является дискретным действием сходимости тогда и только тогда, когда индуцированное действие на является собственно разрывным .${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Тета (М)}$

• Действие группы Клейна на преобразования Мёбиуса является действием группы сходимости.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}}$
• Действие гиперболической группы слов посредством трансляций на ее идеальной границе является действием группы конвергенции.${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$
• Действие относительно гиперболической группы посредством трансляций на ее границе Боудича является действием группы конвергенции.${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$
• Пусть — собственное геодезическое метрическое пространство Громова-гиперболического типа , а — группа, действующая собственно разрывно изометриями на . Тогда соответствующее граничное действие на является дискретным действием сходимости (лемма 2.11 из ^[2] ).${\displaystyle X}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \partial X}$

Пусть — группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве с не менее чем тремя точками, и пусть . Тогда известно (лемма 3.1 в ^[2] или лемма 6.2 в ^[3] ), что выполняется ровно одно из следующих условий:${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma}$

(1) Элемент имеет конечный порядок в ; в этом случае называется эллиптическим .${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \гамма}$

(2) Элемент имеет бесконечный порядок в , а фиксированное множество представляет собой одну точку; в этом случае называется параболическим .${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \гамма}$

(3) Элемент имеет бесконечный порядок в , а фиксированное множество состоит из двух различных точек; в этом случае оно называется локсодромическим .${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \гамма}$

Более того, для каждого элементы и имеют один и тот же тип. Также в случаях (2) и (3) (где ) и группа действует собственно разрывно на . Кроме того, если является локсодромным, то действует собственно разрывно и кокомпактно на .${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \гамма ^{p}}$${\displaystyle \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )=\operatorname {Исправить} _{M}(\gamma ^{p})}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle \langle \gamma \rangle}$${\displaystyle M\setminus \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \langle \gamma \rangle}$${\displaystyle M\setminus \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )}$

Если является параболическим с неподвижной точкой , то для каждого имеет Если является локсодромическим, то можно записать в виде так что для каждого имеет и для каждого имеет , и эти сходимости равномерны на компактных подмножествах .${\displaystyle \gamma \in \Gamma}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty}\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty}\gamma ^{n}x=a}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma}$${\displaystyle \operatorname {Исправить} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{-}\}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{+}\}}$${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$${\displaystyle M\setminus \{a_{-},a_{+}\}}$

Дискретное сходимое действие группы на компактном метризуемом пространстве называется равномерным (в этом случае называется равномерной группой сходимости ), если действие на является кокомпактным . Таким образом, является равномерной группой сходимости тогда и только тогда, когда ее действие на является как собственно разрывным, так и кокомпактным.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Theta (M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Theta (M)}$

Пусть действует на компактном метризуемом пространстве как дискретная группа сходимости. Точка называется конической предельной точкой (иногда также называется радиальной предельной точкой или точкой аппроксимации ), если существует бесконечная последовательность различных элементов и различных точек, такая что и для каждого из них имеет .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a}$${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$

Важный результат Тукии ^[4] , также независимо полученный Боудичем ^[2] [ ^5], гласит:

Дискретное действие группы сходимости группы на компактном метризуемом пространстве равномерно тогда и только тогда, когда каждая неизолированная точка является конической предельной точкой.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

^{Громов [6]} уже заметил , что естественное действие переносов гиперболической группы на ее границе является действием равномерной сходимости ( формальное доказательство см. в ^{[2] ). Боудич [5]} доказал важное обратное утверждение, получив таким образом топологическую характеристику гиперболических групп:${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$

Теорема. Пусть действует как дискретная равномерная группа сходимости на компактном метризуемом пространстве без изолированных точек. Тогда группа является гиперболической по слову и существует -эквивариантный гомеоморфизм .${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M\to \partial G}$

Изометрическое действие группы на гиперболической плоскости называется геометрическим, если это действие является собственно разрывным и кокомпактным. Каждое геометрическое действие на индуцирует равномерное сходимое действие на . Важный результат Тукии (1986), ^[7] Габая (1992), ^[8] Кассона–Юнгрейса (1994), ^[9] и Фредена (1995) ^[10] показывает, что обратное также верно:${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G}$

Теорема. Если — группа, действующая как дискретная равномерная группа сходимости на , то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическим действием на изометриями .${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

Обратите внимание, что всякий раз, когда действует геометрически на , группа фактически является группой гиперболической поверхности, то есть содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе замкнутой гиперболической поверхности.${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Одна из эквивалентных переформулировок гипотезы Кэннона , первоначально выдвинутой Джеймсом У. Кэнноном в терминах гиперболических групп со словами, границы которых гомеоморфны , ^[11] гласит, что если — группа, действующая как дискретная равномерная группа сходимости на , то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическим действием на изометриями . Эта гипотеза все еще остается открытой.${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

• Яман дал характеристику относительно гиперболических групп в терминах действий сходимости, ^[12] обобщив характеристику Боудича гиперболических групп как групп однородной сходимости.
• Можно рассмотреть более общие версии групповых действий со «свойством сходимости» без предположения о дискретности. ^[13]
• Наиболее общая версия понятия отображения Кэннона–Терстона , первоначально определенная в контексте клейновских и гиперболических групп, может быть определена и изучена в контексте задания групп сходимости. ^[14]