Функция передачи контраста

Функция передачи контраста ( CTF ) математически описывает, как аберрации в просвечивающем электронном микроскопе (TEM) изменяют изображение образца. ^{[1] [2] [3] [4]} Эта функция передачи контраста (CTF) устанавливает разрешение высокоразрешающей просвечивающей электронной микроскопии (HRTEM), также известной как фазово-контрастная TEM.

Рассматривая записанное изображение как истинный объект, деградировавший по CTF, описание CTF позволяет провести обратную разработку истинного объекта . Обычно это обозначается как CTF-коррекция и имеет жизненно важное значение для получения структур с высоким разрешением в трехмерной электронной микроскопии, особенно в электронной криомикроскопии . Ее эквивалентом в оптике на основе света является оптическая передаточная функция .

Контраст в HRTEM возникает из-за интерференции в плоскости изображения между фазами рассеянных электронных волн и фазой прошедшей электронной волны. Сложные взаимодействия происходят, когда электронная волна проходит через образец в TEM. Над образцом электронную волну можно аппроксимировать как плоскую волну. Когда электронная волна, или волновая функция , проходит через образец, изменяются как фаза , так и амплитуда электронного пучка. Результирующий рассеянный и прошедший электронный пучок затем фокусируется объективной линзой и отображается детектором в плоскости изображения.

Детекторы способны измерять только амплитуду, но не фазу напрямую. Однако при правильных параметрах микроскопа фазовую интерференцию можно измерить косвенно через интенсивность в плоскости изображения. Электроны очень сильно взаимодействуют с кристаллическими твердыми телами. В результате фазовые изменения, вызванные очень малыми особенностями, вплоть до атомного масштаба, можно зарегистрировать с помощью HRTEM.

Теория переноса контраста обеспечивает количественный метод перевода выходной волновой функции в конечное изображение. Часть анализа основана на преобразованиях Фурье волновой функции электронного пучка. Когда волновая функция электрона проходит через линзу, волновая функция проходит через преобразование Фурье. Это концепция из Фурье-оптики .

Теория переноса контраста состоит из четырех основных операций: ^[1]

1. Выполните преобразование Фурье выходной волны, чтобы получить амплитуду волны в задней фокальной плоскости линзы объектива.
2. Измените волновую функцию в обратном пространстве с помощью фазового множителя, также известного как функция передачи фазового контраста , для учета аберраций.
3. Обратное преобразование Фурье модифицированной волновой функции для получения волновой функции в плоскости изображения
4. Найдите квадрат модуля волновой функции в плоскости изображения, чтобы найти интенсивность изображения (это сигнал, который регистрируется на детекторе и создает изображение).

Если мы включим некоторые предположения о нашем образце, то можно найти аналитическое выражение как для фазового контраста, так и для функции передачи фазового контраста. Как обсуждалось ранее, когда электронная волна проходит через образец, электронный луч взаимодействует с образцом посредством рассеяния и испытывает фазовый сдвиг. Это представлено волновой функцией электрона, выходящей из нижней части образца. Это выражение предполагает, что рассеяние вызывает фазовый сдвиг (и не амплитудный сдвиг). Это называется приближением фазового объекта.

Следуя обозначениям Уэйда ^[1], выражение волновой функции выхода имеет вид:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _{o} \exp[-i\pi \lambda \int dz'U(r,z')]}$

${\displaystyle \tau _{o}=\tau (r,0)}$

${\displaystyle U(r,z)=2мВ(r,z)/h^{2}}$

Где выходная волновая функция τ является функцией как в плоскости образца, так и перпендикулярно плоскости образца. представляет собой волновую функцию, падающую на верхнюю часть образца. - длина волны электронного пучка, ^[5] которая задается ускоряющим напряжением. - эффективный потенциал образца, который зависит от атомных потенциалов внутри кристалла, представленный как .${\displaystyle r}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \tau _{o}}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

В выходной волновой функции фазовый сдвиг представлен следующим образом:

${\displaystyle \phi (r)=\pi \lambda \int dz'U(r,z')}$

Это выражение можно еще больше упростить, приняв во внимание некоторые дополнительные предположения об образце. Если образец считается очень тонким и слабым рассеивателем, так что сдвиг фазы << 1, то волновую функцию можно аппроксимировать линейным разложением полинома Тейлора . ^[6] Это приближение называется приближением слабого фазового объекта.

Выходную волновую функцию можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _ {o}[1+i\phi (r)]}$

Прохождение через объектив вызывает преобразование Фурье и сдвиг фаз. Таким образом, волновая функция на задней фокальной плоскости объектива может быть представлена ​​следующим образом:

${\displaystyle I(\theta )=\delta (\theta )+\Phi K(\theta )}$

${\displaystyle \тета}$= угол рассеяния между прошедшей электронной волной и рассеянной электронной волной

${\displaystyle \дельта}$= дельта-функция, представляющая нерассеянную, прошедшую электронную волну

${\displaystyle \Фи}$= преобразование Фурье фазы волновой функции

${\displaystyle K(\theta)}$= сдвиг фазы, вызванный аберрациями микроскопа, также известный как функция передачи контраста:

${\displaystyle K(\theta)=\sin[(2\pi /\lambda)W (\theta)]}$
${\displaystyle W(\theta)=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4}$

${\displaystyle \лямбда}$= релятивистская длина волны электрона, = сферическая аберрация линзы объектива${\displaystyle C_{s}}$

Функция передачи контраста может быть также задана в терминах пространственных частот или обратного пространства. С отношением функция передачи фазового контраста становится: ${\textstyle \theta =\lambda k}$

${\displaystyle K(k)=\sin[(2\pi)W (k)]}$
${\displaystyle W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4}$

${\displaystyle z}$= расфокусировка объектива (используя соглашение, что недофокус положительный, а перефокус отрицательный), = релятивистская длина волны электрона, = сферическая аберрация объектива, = пространственная частота (единицы м ⁻¹ )${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle C_{s}}$${\displaystyle к}$

Сферическая аберрация — это эффект размытия, возникающий, когда линза не может свести входящие лучи под большими углами падения в точку фокусировки, а вместо этого фокусирует их в точку, расположенную ближе к линзе. Это приведет к распространению отображаемой точки (которая в идеале отображается как одна точка в гауссовой плоскости изображения) по кругу конечного размера в плоскости изображения. Задание меры аберрации в плоскости, нормальной к оптической оси, называется поперечной аберрацией. Можно показать, что размер (радиус) круга аберрации в этой плоскости пропорционален кубу угла падения (θ) в приближении малых углов, и что явная форма в этом случае имеет вид

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}$

где - сферическая аберрация, а - увеличение, оба фактически являются константами настроек линзы. Затем можно продолжить, отметив, что разница в преломленном угле между идеальным лучом и лучом, страдающим от сферической аберрации, равна ${\displaystyle C_{s}}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_{s}}}\right)}$

где — расстояние от линзы до гауссовой плоскости изображения, а — радиальное расстояние от оптической оси до точки на линзе, через которую прошел луч. Упрощая это еще больше (без применения каких-либо приближений), мы видим, что ${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2}}}\right)}$

Теперь можно применить два приближения, чтобы продолжить прямолинейным образом. Они основаны на предположении, что и и намного меньше, чем , что эквивалентно утверждению, что мы рассматриваем относительно малые углы падения и, следовательно, также очень малые сферические аберрации. При таком предположении два ведущих члена в знаменателе незначительны и могут быть аппроксимированы как не вносящие вклад. С помощью этих предположений мы также неявно заявили, что сама дробь может считаться малой, и это приводит к исключению функции с помощью приближения малого угла;${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \arctan()}$

${\displaystyle \alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}}$

Если считать, что изображение находится приблизительно в фокусе, а угол падения снова считать малым, то${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {R}{f}}\approx \tan \left(\theta \right)\approx \theta ~~{\text{and}}~~M\approx {\frac {b}{f}}}$

Это означает, что приблизительное выражение для разницы в угле преломления между идеальным лучом и лучом, страдающим сферической аберрацией, имеет вид

${\displaystyle \alpha _{s}\approx {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}}$

В отличие от сферической аберрации, мы продолжим с оценки отклонения расфокусированного луча от идеального, указав продольную аберрацию; меру того, насколько луч отклоняется от фокусной точки вдоль оптической оси. Обозначая это расстояние , можно показать, что разница в преломленном угле между лучами, исходящими от сфокусированного и расфокусированного объекта, может быть связана с преломленным углом как${\displaystyle \Delta b}$${\displaystyle \alpha _{f}}$

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(\alpha _{f})=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})}$

где и определяются так же, как и для сферической аберрации. Предполагая, что (или, что эквивалентно, что ), мы можем показать, что${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \alpha _{f}<<\theta '}$${\displaystyle |b\cdot \sin(\alpha _{f})|<<|R|}$

${\displaystyle \sin(\alpha _{f})\approx {\frac {\Delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}={\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}}$

Поскольку нам требуется быть малым, а малость подразумевает , нам дается приближение как${\displaystyle \alpha _{f}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R<<b}$${\displaystyle \alpha _{f}}$

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta b\cdot R}{b^{2}}}}$

Из формулы тонкой линзы можно показать, что , что дает окончательную оценку разницы в преломленном угле между сфокусированными и не сфокусированными лучами как${\displaystyle \Delta b/b^{2}\approx \Delta f/f^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta f\cdot R}{f^{2}}}}$

Функция передачи контраста определяет, сколько фазового сигнала передается в реальную пространственную волновую функцию в плоскости изображения. Поскольку квадрат модуля реальной пространственной волновой функции дает сигнал изображения, функция передачи контраста ограничивает, сколько информации в конечном итоге может быть переведено в изображение. Форма функции передачи контраста определяет качество формирования изображения реального пространства в ТЭМ.

Это пример функции передачи контраста. Есть несколько вещей, которые следует отметить:

• Функция существует в области пространственных частот, или k-пространстве.
• Всякий раз, когда функция равна нулю, это означает, что пропускание отсутствует или фазовый сигнал не включен в реальное пространственное изображение.
• Первый раз, когда функция пересекает ось x, называется разрешением точки.
• Для максимизации фазового сигнала обычно лучше использовать условия визуализации, которые перемещают разрешение точки в область более высоких пространственных частот.
• Когда функция отрицательна, это представляет положительный фазовый контраст, приводящий к яркому фону с темными атомными структурами.
• Каждый раз, когда CTF пересекает ось x, происходит инверсия контраста.
• Соответственно, за пределами точечного разрешения микроскопа фазовая информация не может быть интерпретирована напрямую и должна быть смоделирована посредством компьютерного моделирования.

Значение расфокусировки ( ) может использоваться для противодействия сферической аберрации, чтобы обеспечить больший фазовый контраст. Этот анализ был разработан Шерцером и называется расфокусировкой Шерцера. ^[7]${\textstyle z}$

${\displaystyle z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}}$

Переменные те же, что и в разделе математической обработки, с установкой специфической дефокусировки Шерцера в качестве сферической аберрации и λ в качестве релятивистской длины волны для электронной волны.${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle C_{s}}$

Рисунок в следующем разделе показывает функцию CTF для микроскопа CM300 при расфокусировке Scherzer. По сравнению с функцией CTF, показанной выше, здесь имеется большее окно, также известное как полоса пропускания, пространственных частот с высоким коэффициентом пропускания. Это позволяет большему количеству фазового сигнала проходить в плоскость изображения.

Функция огибающей представляет собой эффект дополнительных аберраций, которые подавляют функцию передачи контраста, и, в свою очередь, фазу. Члены огибающей, составляющие функцию огибающей, имеют тенденцию подавлять высокие пространственные частоты. Точная форма функций огибающей может отличаться от источника к источнику. Как правило, они применяются путем умножения функции передачи контраста на член огибающей Et, представляющий временные аберрации, и член огибающей Es, представляющий пространственные аберрации. Это дает измененную или эффективную функцию передачи контраста:

${\displaystyle K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]}$

Примеры временных аберраций включают хроматические аберрации, разброс энергии, фокальный разброс, нестабильности в источнике высокого напряжения и нестабильности в токе объективной линзы. Пример пространственной аберрации включает конечную сходимость падающего пучка. ^[8]

Как показано на рисунке, наиболее ограничивающий член огибающей будет доминировать в затухании функции передачи контраста. В этом конкретном примере наиболее ограничивающим является временной член огибающей. Поскольку члены огибающей сильнее затухают на более высоких пространственных частотах, наступает точка, через которую больше не может пройти фазовый сигнал. Это называется информационным пределом микроскопа и является одной из мер разрешения.

Моделирование функции огибающей может дать представление как о конструкции инструмента ТЭМ, так и о параметрах визуализации. Моделируя различные аберрации с помощью терминов огибающей, можно увидеть, какие аберрации больше всего ограничивают фазовый сигнал.

Было разработано различное программное обеспечение для моделирования как функции передачи контраста, так и функции огибающей для конкретных микроскопов и конкретных параметров визуализации. ^{[9] [10]}

Предыдущее описание функции передачи контраста зависит от линейной теории визуализации . Линейная теория визуализации предполагает, что прошедший луч является доминирующим, имеется только слабый сдвиг фазы образцом. Во многих случаях это предварительное условие не выполняется. Для учета этих эффектов требуется нелинейная теория визуализации . В случае сильно рассеивающих образцов дифрагированные электроны будут не только мешать прошедшему лучу, но и будут мешать друг другу. Это приведет к дифракционным интенсивностям второго порядка. Для моделирования этих дополнительных эффектов интерференции требуется нелинейная теория визуализации. ^{[11] [12]}

Вопреки широко распространенному мнению, линейная/нелинейная теория формирования изображений не имеет ничего общего с кинематической дифракцией или динамической дифракцией соответственно.

Однако линейная теория визуализации все еще используется, поскольку она имеет некоторые вычислительные преимущества. В линейной теории визуализации коэффициенты Фурье для волновой функции плоскости изображения являются разделимыми. Это значительно снижает вычислительную сложность, позволяя проводить более быстрые компьютерные моделирования изображений HRTEM. ^[13]

• Диск Эйри , различные, но похожие явления в свете
• Оптическая передаточная функция
• Функция рассеяния точки
• Просвечивающая электронная микроскопия

• Коррекция функции передачи контраста (CTF)
• Беседа о CTF Хеннинга Штальберга
• Список литературы CTF
• Интерактивное моделирование CTF