Дискретное время и непрерывное время

В математической динамике дискретное время и непрерывное время — это две альтернативные структуры, в которых моделируются переменные , меняющиеся с течением времени.

Дискретное время рассматривает значения переменных как происходящие в отдельных, отдельных «моментах времени» или, что эквивалентно, как неизменные на протяжении каждой ненулевой области времени («периода времени») — то есть время рассматривается как дискретная переменная . Таким образом, не временная переменная переходит от одного значения к другому по мере того, как время переходит от одного периода времени к другому. Такое представление времени соответствует цифровым часам, которые некоторое время показывают фиксированное показание 10:37, а затем переходят к новому фиксированному показанию 10:38 и т. д. В этой структуре каждая интересующая переменная измеряется один раз в каждый период времени. Количество измерений между любыми двумя периодами времени конечно. Измерения обычно производятся при последовательных целочисленных значениях переменной «время».

Дискретный сигнал или дискретно -временной сигнал — это временной ряд, состоящий из последовательности величин.

В отличие от непрерывного сигнала, дискретный сигнал не является функцией непрерывного аргумента; однако он может быть получен путем выборки из непрерывного сигнала. Когда дискретный сигнал получается путем выборки последовательности в равномерно распределенные моменты времени, он имеет связанную с ним частоту выборки .

Дискретные сигналы могут иметь разное происхождение, но обычно их можно отнести к одной из двух групп: ^[1]

• Получая значения аналогового сигнала с постоянной или переменной скоростью. Этот процесс называется выборкой . ^[2]
• Наблюдая за изначально дискретным во времени процессом, например, за еженедельным пиковым значением определенного экономического показателя.

Напротив, непрерывное время рассматривает переменные как имеющие определенное значение только в течение бесконечно короткого промежутка времени. Между любыми двумя точками времени существует бесконечное количество других точек времени. Переменная «время» охватывает всю действительную числовую прямую или, в зависимости от контекста, некоторое ее подмножество, например, неотрицательные действительные числа. Таким образом, время рассматривается как непрерывная переменная .

Непрерывный сигнал или сигнал с непрерывным временем — это переменная величина ( сигнал ), область определения которой, часто являющаяся временем, является континуумом ( например, связным интервалом действительных чисел ). То есть область определения функции — это несчетное множество . Сама функция не обязательно должна быть непрерывной . Напротив, дискретный сигнал имеет счетную область определения , как натуральные числа .

Сигнал непрерывной амплитуды и времени известен как непрерывный во времени сигнал или аналоговый сигнал . Он ( сигнал ) будет иметь некоторое значение в каждый момент времени. Электрические сигналы, полученные пропорционально физическим величинам, таким как температура, давление, звук и т. д., обычно являются непрерывными сигналами. Другими примерами непрерывных сигналов являются синусоида, косинусоида, треугольная волна и т. д.

Сигнал определяется в области, которая может быть или не быть конечной, и существует функциональное отображение из области в значение сигнала. Непрерывность переменной времени, в связи с законом плотности действительных чисел , означает, что значение сигнала может быть найдено в любой произвольный момент времени.

Типичным примером сигнала бесконечной длительности является:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

Аналогом указанного выше сигнала с конечной длительностью может быть:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$и в противном случае.${\displaystyle f(t)=0}$

Значение сигнала конечной (или бесконечной) длительности может быть или не быть конечным. Например,

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$и в противном случае,${\displaystyle f(t)=0}$

является сигналом конечной длительности, но принимает бесконечное значение для . ${\displaystyle t=0\,}$

Во многих дисциплинах принято считать, что непрерывный сигнал всегда должен иметь конечное значение, что имеет больше смысла в случае физических сигналов.

Для некоторых целей бесконечные сингулярности приемлемы, если сигнал интегрируем на любом конечном интервале (например, сигнал не интегрируем на бесконечности, но интегрируем).${\displaystyle т^{-1}}$${\displaystyle т^{-2}}$

Любой аналоговый сигнал по своей природе непрерывен. Дискретные по времени сигналы , используемые в цифровой обработке сигналов , могут быть получены путем дискретизации и квантования непрерывных сигналов.

Непрерывный сигнал может быть также определен по независимой переменной, отличной от времени. Другой очень распространенной независимой переменной является пространство, и она особенно полезна при обработке изображений , где используются два пространственных измерения.

Дискретное время часто используется, когда речь идет об эмпирических измерениях , поскольку обычно можно измерять переменные только последовательно. Например, хотя экономическая активность фактически происходит непрерывно, и нет момента, когда экономика полностью находится в состоянии паузы, экономическую активность можно измерять только дискретно. По этой причине опубликованные данные, например, о валовом внутреннем продукте, будут показывать последовательность квартальных значений.

Когда кто-то пытается эмпирически объяснить такие переменные с точки зрения других переменных и/или их собственных предшествующих значений, он использует методы временных рядов или регрессии , в которых переменные индексируются с помощью нижнего индекса, указывающего на период времени, в котором произошло наблюдение. Например, y _t может относиться к значению дохода, наблюдаемому в неопределенный период времени t , y ₃ к значению дохода, наблюдаемому в третий период времени и т. д.

Более того, когда исследователь пытается разработать теорию для объяснения того, что наблюдается в дискретном времени, часто сама теория выражается в дискретном времени, чтобы облегчить разработку временного ряда или регрессионной модели.

С другой стороны, часто математически более податливо строить теоретические модели в непрерывном времени, и часто в таких областях, как физика, точное описание требует использования непрерывного времени. В контексте непрерывного времени значение переменной y в неопределенный момент времени обозначается как y ( t ) или, когда смысл ясен, просто как y .

Дискретное время использует дифференциальные уравнения , также известные как рекуррентные соотношения. Пример, известный как логистическая карта или логистическое уравнение, это

${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),}$

в котором r — параметр в диапазоне от 2 до 4 включительно, а x — переменная в диапазоне от 0 до 1 включительно, значение которой в периоде t нелинейно влияет на ее значение в следующем периоде, t +1. Например, если и , то при t =1 имеем , а при t =2 имеем .${\displaystyle r=4}$${\displaystyle x_{1}=1/3}$${\displaystyle x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9}$${\displaystyle x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81}$

Другой пример моделирует корректировку цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт как

${\displaystyle P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)}$

где — положительный параметр скорости адаптации, который меньше или равен 1, а где — функция избыточного спроса .${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle f}$

Непрерывное время использует дифференциальные уравнения . Например, корректировка цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт может быть смоделирована в непрерывном времени как

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)}$

где левая часть — первая производная цены по времени (то есть скорость изменения цены), — параметр скорости корректировки, который может быть любым положительным конечным числом, и — снова функция избыточного спроса.${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle f}$

Переменная, измеренная в дискретном времени, может быть изображена как ступенчатая функция , в которой каждому периоду времени дается область на горизонтальной оси той же длины, что и любому другому периоду времени, а измеряемая переменная отображается как высота, которая остается постоянной на протяжении всей области периода времени. В этом графическом методе график выглядит как последовательность горизонтальных шагов. В качестве альтернативы каждый период времени можно рассматривать как отдельную точку во времени, обычно при целочисленном значении на горизонтальной оси, а измеряемая переменная отображается как высота над этой точкой оси времени. В этом методе график выглядит как набор точек.

Значения переменной, измеренные в непрерывном времени, изображаются в виде непрерывной функции , поскольку областью времени считается вся вещественная ось или, по крайней мере, некоторая ее связанная часть.

• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Вагнер, Томас Чарльз Гордон (1959). Аналитические переходные процессы . Wiley.