Спорное правило одежды
Еврейское руководство по банкротству

Правило оспариваемой одежды (CG) [1] , также называемое уступить и разделить [2] , является правилом деления для решения проблем конфликтующих требований (также называемых « проблемами банкротства »). Идея заключается в том, что если требование одного истца составляет менее 100% имущества для раздела, то он фактически уступает невостребованное имущество другому истцу. Поэтому мы сначала даем каждому истцу сумму, уступленную ему/ей другим истцом. Оставшаяся сумма затем делится поровну между двумя истцами.

Правило CG впервые появилось в Мишне , проиллюстрированное случаем конфликта из-за одежды, отсюда и название. В Мишне оно было описано только для проблем с двумя людьми. Но в 1985 году Роберт Ауманн и Майкл Машлер доказали, что в каждой проблеме банкротства существует уникальное разделение, которое согласуется с правилом CG для каждой пары истцов. [1] Они называют правило, которое выбирает это уникальное разделение, правилом CG-согласованности (его также называют правилом Талмуда ). [2]

Описание проблемы

Существует делимый ресурс, обозначаемый как (=Имущество или Наследие). Есть n человек, которые претендуют на этот ресурс или его части; они называются претендентами . Сумма, запрашиваемая каждым претендентом i, обозначается как . Обычно, , то есть, имущество недостаточно для удовлетворения всех претензий. Цель состоит в том, чтобы выделить каждому претенденту сумму, такую, что . Э {\displaystyle E} с я {\displaystyle c_{i}} ∑ я = 1 н с я > Э {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}>E} х я {\displaystyle x_{i}} ∑ я = 1 н х я = Э {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}

Два заявителя

При наличии двух заявителей правило CG работает следующим образом.

  • Усекаем каждое требование на имущество (поскольку нельзя претендовать больше, чем на все имущество). То есть, устанавливаем для каждого претендента i . с я ′ := мин ( с я , Э ) {\displaystyle c_{i}':=\min(c_{i},E)}
  • Выделить истцу 1 сумму , которая не была востребована истцом 2. Э − с 2 ′ {\displaystyle E-c_{2}'}
  • Выделить заявителю 2 сумму , которая не была востребована заявителем 1. Э − с 1 ′ {\displaystyle E-c_{1}'}
  • Оставшуюся сумму следует разделить поровну между претендентами. Э − ( Э − с 2 ′ ) − ( Э − с 1 ′ ) = с 1 ′ + с 2 ′ − Э {\displaystyle E-(E-c_{2}')-(E-c_{1}')=c_{1}'+c_{2}'-E}

Суммируя суммы, выданные каждому заявителю, можно записать следующую формулу:

С Г ( с 1 , с 2 ; Э ) = ( Э + с 1 ′ − с 2 ′ 2   ,   Э + с 2 ′ − с 1 ′ 2 ) {\displaystyle CG(c_{1},c_{2};E)=\left({\frac {E+c_{1}'-c_{2}'}{2}}~,~{\frac {E+c_{2}'-c_{1}'}{2}}\right)}

Например:

  • Если и , то оба претендента получают по 1/2, то есть . Э = 1 {\displaystyle E=1} с 1 = с 2 = 1 {\displaystyle c_{1}=c_{2}=1} С Г ( 1 , 1 ; 1 ) = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle CG(1,1;1)=(1/2,1/2)}
  • Если и и , то заявитель 1 получает 3/4, а заявитель 2 получает 1/4, то есть . Э = 1 {\displaystyle E=1} с 1 = 1 {\displaystyle c_{1}=1} с 2 = 1 / 2 {\displaystyle c_{2}=1/2} С Г ( 1 , 1 / 2 ; 1 ) = ( 3 / 4 , 1 / 4 ) {\displaystyle CG(1,1/2;1)=(3/4,1/4)}


Эти два примера впервые упоминаются в первой Мишне Бава Меция : [3]

«Двое держат одежду. Один говорит: «Я нашел ее», а другой говорит: «Я нашел ее»:

  • Если один скажет: «Всё это моё», а другой скажет: «Всё это моё», то этот должен поклясться, что ему принадлежит не менее половины этого, а этот должен поклясться, что ему принадлежит не менее половины этого, и они должны разделить это между собой.
  • Если один скажет: «Всё моё», а другой скажет: «Половина моего», то тот, кто скажет: «Всё моё», должен поклясться, что ему принадлежит не менее трёх четвертей; а тот, кто скажет: «Половина моего», должен поклясться, что ему принадлежит не менее одной четверти; первый забирает три четверти, а второй забирает одну четверть».

Множество заявителей

Чтобы распространить правило CG на проблемы с тремя или более претендентами, мы применяем общий принцип согласованности ( также называемый когерентностью ), который гласит, что каждая часть справедливого дележа должна быть справедливой. [4] В частности, мы ищем распределение, которое соблюдает правило CG для каждой пары претендентов. То есть для каждого претендента i и j :

( х я , х дж ) = С Г ( с я , с дж ; х я + х дж ) {\displaystyle (x_{i},x_{j})=CG(c_{i},c_{j};x_{i}+x_{j})} .

Априори не ясно, существует ли такое распределение всегда или что оно уникально. Однако можно доказать, что всегда существует уникальное CG-консистентное распределение. [1] Его можно описать следующим алгоритмом:

  • Если (то есть общая стоимость имущества составляет менее половины общей суммы претензий), то применим правило ограниченных равных компенсаций к половине претензий, то есть вернем . ∑ я = 1 н с я > 2 Э {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}>2E} С Э А ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ; Э ) {\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}
  • В противном случае : выплатить каждому истцу половину его/ее иска, а затем применить правило ограниченных равных убытков к остатку, то есть вернуть . ∑ я = 1 н с я ≤ 2 Э {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E} ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ) + С Э Л ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ; Э − ∑ дж ( с дж / 2 ) ) {\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}

Обратите внимание, что при наличии двух истцов, как только требования усекаются до максимума имущества, условие всегда выполняется. Например: ∑ я = 1 н с я ≤ 2 Э {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E}

  • С Г ( 1 , 1 / 2 ; 1 ) = ( 1 / 2 , 1 / 4 ) + С Э Л ( 1 / 2 , 1 / 4 ; 1 / 4 ) = ( 1 / 2 , 1 / 4 ) + ( 1 / 4 , 0 ) = ( 3 / 4 , 1 / 4 ) {\displaystyle CG(1,1/2;1)=(1/2,1/4)+CEL(1/2,1/4;1/4)=(1/2,1/4)+( 1/4,0)=(3/4,1/4)} .

Вот несколько примеров с тремя претендентами:

  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle CG(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)} ; здесь используется CEA.
  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle CG(100,200,300;200)=(50,75,75)} ; здесь используется CEA.
  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle CG(100,200,300;300)=(50,100,150)} ; здесь можно использовать как CEA, так и CEL (результат тот же); когда сумма требований составляет ровно половину имущества, каждый истец получает ровно половину своего требования.
  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 400 ) = ( 50 , 125 , 225 ) {\displaystyle CG(100,200,300;400)=(50,125,225)} ; здесь используется CEL.
  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 500 ) = ( 66.667 , 166.667 , 266.667 ) {\displaystyle CG(100,200,300;500)=(66.667,166.667,266.667)} ; здесь используется CEL.
  • С Г ( 100 , 200 , 300 ; 600 ) = ( 100 , 200 , 300 ) {\displaystyle CG(100,200,300;600)=(100,200,300)} ; здесь используется CEL.

Первые три примера появляются в другой Мишне, в Кетубот : [5]

«Предположим, что умер мужчина, который был женат на трех женщинах; брачный контракт одной жены был на 100 динаров, брачный контракт второй жены был на 200 динаров, а брачный контракт третьей жены был на 300 динаров, и все три контракта были выданы в один и тот же день, так что ни одна из жен не имеет приоритета перед другой.

  • Если общая стоимость имущества составляет всего 100 динаров, жены делят имущество поровну.
  • Если в имении было 200 динаров, то первая жена берет 50 динаров, а две другие жены берут по три динара золотом каждая, что эквивалентно 75 серебряным динарам.
  • Если в имении было 300 динаров, то первая жена берет 50 динаров, вторая — 100 динаров, а третья — шесть динаров золота, что эквивалентно 150 серебряным динарам».

Конструктивное описание

Правило CG можно описать конструктивно. Предположим, что E увеличивается от 0 до половины суммы претензий: первые единицы делятся поровну, пока каждый претендент не получит . Затем претендент с наименьшим размером откладывается, а следующие единицы делятся поровну между оставшимися претендентами, пока каждый из них не получит . Затем претендент со вторым наименьшим размером также откладывается. Это продолжается до тех пор, пока либо имущество не будет полностью разделено, либо каждый претендент не получит ровно . Если какое-то имущество остается, то убытки делятся симметричным образом, начиная с имущества, равного сумме всех претензий, и уменьшаясь до половины этой суммы. мин я ( с я / 2 ) {\displaystyle \min _{i}(c_{i}/2)} с я {\displaystyle c_{i}} с я {\displaystyle c_{i}} с я {\displaystyle c_{i}} с я / 2 {\displaystyle c_{i}/2}

Характеристики

Правило CG самодвойственно . Это означает, что оно рассматривает прибыли и убытки симметрично: оно делит прибыли так же, как и убытки. Формально: . [1] [6] С Г ( с , Э ) = с − С Г ( с , ∑ с − Э ) {\displaystyle CG(c,E)=c-CG(c,\sum cE)}

Теоретико-игровой анализ

Правило CG может быть выведено независимо, как ядро ​​определенной кооперативной игры, определенной на основе утверждений. [7]

Правило Пинилеса

Цви Менахем Пинилес, еврейский ученый 19-го века, представил другое правило для объяснения случаев в Кетуботе. [8] Его правило похоже на правило CG, но оно не согласуется с правилом CG, когда есть два претендента. Правило работает следующим образом: [2]

  • Если сумма претензий больше 2 E , то правило CEA применяется к половине претензий, то есть возвращается . С Э А ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ; Э ) {\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}
  • В противном случае он отдает каждому агенту половину его требования, а затем применяет CEA к оставшейся части, то есть возвращает . ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ) + С Э А ( с 1 / 2 , … , с н / 2 ; Э − ∑ дж = 1 н с дж / 2 ) {\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}

Примеры с двумя заявителями:

  • П я Н я ( 60 , 90 ; 100 ) = ( 42.5 , 57,5 ) {\displaystyle PINI(60,90;100)=(42.5,57.5)} . Первоначально истцы получают (30,45). Оставшиеся истцы получают (30,45), а оставшееся имущество составляет 25, поэтому оно делится поровну.
  • P I N I ( 50 , 100 ; 100 ) = ( 37.5 , 62.5 ) {\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)} . Первоначально истцы получают (25,50). Оставшиеся иски составляют (25,50), а оставшееся имущество — 25, поэтому оно делится поровну.
  • P I N I ( 50 , 100 ; 100 ) = ( 37.5 , 62.5 ) {\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)} . Первоначально истцы получают (25,50). Оставшиеся иски составляют (25,50), а оставшееся имущество — 25, поэтому оно делится поровну.

Примеры с тремя заявителями:

  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)} . Здесь сумма претензий более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат . C E A ( 50 , 100 , 150 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;100)=(33.333,33.333,33.333)}
  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;200)=(50,75,75)} . Опять же, сумма претензий более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат . C E A ( 50 , 100 , 150 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;200)=(50,75,75)}
  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;300)=(50,100,150)} . Опять же, сумма претензий более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат . C E A ( 50 , 100 , 150 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;300)=(50,100,150)}


Дальнейшее чтение

  • Стивен Ландсбург , Пусть раввин разделит пирог: талмудическая мудрость, применяемая к банкротству

Ссылки

  1. ^ abcd Ауманн, Роберт Дж.; Машлер, Майкл (1985-08-01). «Теоретико-игровой анализ проблемы банкротства из Талмуда». Журнал экономической теории . 36 (2): 195–213. doi :10.1016/0022-0531(85)90102-4. ISSN  0022-0531.
  2. ^ abc Уильям, Томсон (2003-07-01). "Аксиоматический и теоретико-игровой анализ проблем банкротства и налогообложения: обзор". Математические социальные науки . 45 (3): 249–297. doi :10.1016/S0165-4896(02)00070-7. ISSN  0165-4896.
  3. ^ Бава Меция 1:1.
  4. ↑ Балински, Мишель (01.06.2005). «Что справедливо?». The American Mathematical Monthly . 112 (6): 502–511. doi :10.1080/00029890.2005.11920221. ISSN  0002-9890. S2CID  32125041.
  5. ^ Кетубот 10:4
  6. ^ Даган, Нир (1996). «Новые характеристики старых правил банкротства». Social Choice and Welfare . 13 : 51–59. CiteSeerX 10.1.1.319.3243 . doi :10.1007/BF00179098. S2CID  18151768. 
  7. ^ Роберт Дж. Ауманн, Теория игр в Талмуде, 2002 г.
  8. ^ Пинилес, Цви Менахем (1863). Дарка Шел Тора (иврит). Вена: Форестер.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Contested_garment_rule&oldid=1174116108"