Конструируемое множество (топология)

В топологии , конструктивные множества представляют собой класс подмножеств топологического пространства , которые имеют относительно «простую» структуру. Они используются, в частности, в алгебраической геометрии и смежных областях. Ключевой результат, известный как теорема Шевалле в алгебраической геометрии, показывает, что образ конструктивного множества конструктивен для важного класса отображений (более конкретно морфизмов ) алгебраических многообразий (или, в более общем смысле, схем ). Кроме того, большое количество «локальных» геометрических свойств схем, морфизмов и пучков (локально) конструктивны. Конструктивные множества также фигурируют в определении различных типов конструктивных пучков в алгебраической геометрии и когомологиях пересечений .

Простое определение, подходящее во многих ситуациях, состоит в том, что конструируемое множество представляет собой конечное объединение локально замкнутых множеств . (Множество является локально замкнутым, если оно является пересечением открытого множества и замкнутого множества .) Однако для того, чтобы иметь определения, которые лучше ведут себя с «большими» пространствами, необходимы модификация и другое, немного более слабое определение:

Определения: Подмножество топологического пространства называется ретрокомпактным, если является компактным для каждого компактного открытого подмножества . Подмножество из конструируемо , если оно является конечным объединением подмножеств вида , где и являются открытыми и ретрокомпактными подмножествами . Подмножество является локально конструируемым, если существует покрытие из , состоящее из открытых подмножеств со свойством, что каждое из них является конструируемым подмножеством . ^{[1] [2]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\cap U}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap (XV)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\cap U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

Эквивалентно, конструктивные подмножества топологического пространства являются наименьшим набором подмножеств, который (i) содержит все открытые ретрокомпактные подмножества и (ii) содержит все дополнения и конечные объединения (и, следовательно, также конечные пересечения) множеств в нем. Другими словами, конструктивные множества являются в точности булевой алгеброй, порожденной ретрокомпактными открытыми подмножествами.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle X}$

В локально нётеровом топологическом пространстве все подмножества ретрокомпактны, ^[3] и поэтому для таких пространств упрощенное определение, данное первым выше, эквивалентно более сложному. Большинство часто встречающихся схем в алгебраической геометрии (включая все алгебраические многообразия ) являются локально нётеровыми, но существуют важные конструкции, которые приводят к более общим схемам.

В любом (не обязательно нётеровом ) топологическом пространстве каждое конструируемое множество содержит плотное открытое подмножество своего замыкания. ^[4]

Терминология: Приведенное здесь определение используется в первом издании EGA и Stacks Project . Во втором издании EGA конструируемые множества (согласно определению выше) называются «глобально конструируемыми», в то время как слово «конструируемый» зарезервировано для того, что выше называется локально конструируемым. ^[5]

Основная причина важности конструктивных множеств в алгебраической геометрии заключается в том, что образ (локально) конструктивного множества также (локально) конструктивен для большого класса отображений (или «морфизмов»). Ключевой результат:

Теорема Шевалле. Если — конечно представленный морфизм схем и — локально конструктивное подмножество, то также локально конструктивно в . ^{[6] [7] [8]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle f(Z)}$${\displaystyle Y}$

В частности, образ алгебраического многообразия не обязательно должен быть многообразием, но (при предположениях) всегда является конструируемым множеством. Например, отображение , которое отправляет в , имеет изображение множества , которое не является многообразием, но конструируемо.${\displaystyle \mathbf {A} ^{2} \rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,xy)}$${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

Теорема Шевалле в указанной выше общности не сработает, если использовать упрощенное определение конструктивных множеств (без ограничения ретрокомпактными открытыми множествами в определении). ^[9]

Большое количество "локальных" свойств морфизмов схем и квазикогерентных пучков на схемах выполняется над локально конструируемым подмножеством. EGA IV § 9 ^[10] охватывает большое количество таких свойств. Ниже приведены некоторые примеры (где все ссылки указывают на EGA IV):

• Если — конечно представленный морфизм схем, а — последовательность конечно представленных квазикогерентных -модулей, то множество , для которого является точным, локально конструктивно. (Предложение (9.4.4))${\displaystyle f\двоеточие X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• Если — конечно представленный морфизм схем и — конечно представленный квазикогерентный -модуль, то множество , для которого локально свободно, локально конструктивно. (Предложение (9.4.7))${\displaystyle f\двоеточие X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• Если — конечно представленный морфизм схем и — локально конструктивное подмножество, то множество для которого замкнуто (или открыто) в локально конструктивно. (Следствие (9.5.4))${\displaystyle f\двоеточие X\rightarrow S}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• Пусть будет схемой и морфизмом -схем . Рассмотрим множество , для которого индуцированный морфизм слоев над имеет некоторое свойство . Тогда локально конструктивно, если имеет любое из следующих свойств: сюръективность, собственная, конечная, погружение, замкнутое погружение, открытое погружение, изоморфизм. (Предложение (9.6.1))${\displaystyle S}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\subset S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть — конечно представленный морфизм схем и рассмотрим множество , для которого слой имеет свойство . Тогда локально конструктивно, если имеет любое из следующих свойств: геометрически неприводимый, геометрически связный, геометрически приведенный. (Теорема (9.7.7))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle P\subset S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f^{-1}(s)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть — локально конечно представленный морфизм схем и рассмотрим множество , для которого слой имеет свойство . Тогда локально конструктивно, если — любое из следующих свойств: геометрически регулярно, геометрически нормально, геометрически редуцировано. (Предложение (9.9.4))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle P\subset X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$

Одна из важных ролей, которую играют эти результаты конструктивности, заключается в том, что в большинстве случаев, предполагая, что морфизмы в вопросах также являются плоскими, следует, что рассматриваемые свойства фактически сохраняются в открытом подмножестве. Значительное количество таких результатов включено в EGA IV § 12. ^[11]

• Конструируемая топология
• Конструируемый пучок

• Аллуш, Жан Поль. Заметка о конструктивных множествах топологического пространства.
• Андрадас, Карлос; Брёкер, Людвиг; Руис, Хесус М. (1996). Конструируемые множества в реальной геометрии . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Результаты по математике и смежным областям (3). Том. 33. Берлин: Springer-Verlag . стр. х+270. ISBN 3-540-60451-0. МР  1393194.
• Борель, Арман . Линейные алгебраические группы.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, премьерная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 . дои : 10.1007/bf02684747. МР  0173675.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). Том. 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Мостовский, А. (1969). Конструируемые множества с приложениями . Исследования по логике и основаниям математики. Амстердам --- Варшава: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers . стр. ix+269. MR  0255390.

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Топологическое определение (локальной) конструктивности
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Свойства конструктивности морфизмов схем (включая теорему Шевалле)