Форма сохранения

Форма сохранения или эйлерова форма относится к расположению уравнения или системы уравнений , обычно представляющей гиперболическую систему , которая подчеркивает, что представленное свойство сохраняется, т.е. тип уравнения непрерывности . Термин обычно используется в контексте механики сплошных сред .

Уравнения в форме сохранения принимают вид для любой сохраняющейся величины , с подходящей функцией . Уравнение этой формы можно преобразовать в интегральное уравнение с помощью теоремы о расходимости . Интегральное уравнение утверждает, что скорость изменения интеграла величины по произвольному контрольному объему задается потоком через границу контрольного объема, причем является внешней нормалью поверхности через границу. не производится и не потребляется внутри и, следовательно, сохраняется. Типичным выбором для является , со скоростью , что означает, что величина течет с заданным полем скорости.$${\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi)=0}$$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \mathbf {ф} }$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\boldsymbol {\nu }}~dS}$$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {ф} }$${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ xi) = \ xi \ mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \xi}$

Интегральная форма таких уравнений обычно является физически более естественной формулировкой, а дифференциальное уравнение возникает из дифференцирования. Поскольку интегральное уравнение может также иметь недифференцируемые решения, равенство обеих формулировок может нарушаться в некоторых случаях, что приводит к слабым решениям и серьезным численным трудностям при моделировании таких уравнений.

Примером системы уравнений, записанных в форме закона сохранения, являются уравнения Эйлера потока жидкости:$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$$

Каждый из них представляет собой сохранение массы , импульса и энергии соответственно.

• Закон сохранения
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

• Торо, ЭФ (1999). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики . Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Рэндалл Дж. Левек: Методы конечных объемов для гиперболических задач. Cambridge University Press, Кембридж 2002, ISBN 0-521-00924-3 ( Cambridge Texts in Applied Mathematics ).