Условная логистическая регрессия

Условная логистическая регрессия — это расширение логистической регрессии , позволяющее учитывать стратификацию и сопоставление . Ее основная область применения — наблюдательные исследования и, в частности, эпидемиология . Она была разработана в 1978 году Норманом Бреслоу , Николасом Дэем , Кэтрин Халворсен , Россом Л. Прентисом и К. Сабай. ^[1] Это наиболее гибкая и общая процедура для сопоставленных данных.

Наблюдательные исследования используют стратификацию или сопоставление как способ контроля запутывающих факторов .

Логистическая регрессия может учитывать стратификацию, имея разный постоянный член для каждой страты. Давайте обозначим метку (например, статус случая) th-го наблюдения th-го слоя и значения соответствующих предикторов. Затем мы принимаем вероятность одного наблюдения как${\displaystyle Y_{i\ell }\in \{0,1\}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle я}$${\displaystyle X_{i\ell }\in \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (Y_{i\ell }=1|X_{i\ell })={\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}}}$

где - постоянный член для th-го слоя. Параметры в этой модели можно оценить с помощью оценки максимального правдоподобия .${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle я}$

Например, рассмотрим оценку влияния физических упражнений на риск сердечно-сосудистых заболеваний. Если люди, которые больше занимаются спортом, моложе, имеют лучший доступ к здравоохранению или имеют другие отличия, которые улучшают их здоровье, то логистическая регрессия заболеваемости сердечно-сосудистыми заболеваниями по минутам, потраченным на занятия спортом, может переоценить влияние физических упражнений на здоровье. Чтобы решить эту проблему, мы можем сгруппировать людей на основе демографических характеристик, таких как возраст и почтовый индекс их домашнего проживания. Каждая страта представляет собой группу людей со схожими демографическими данными. Вектор содержит информацию об интересующей переменной (в данном случае о минутах, потраченных на занятия спортом) для человека в страте . Значение представляет собой влияние демографических данных на заболеваемость сердечно-сосудистыми заболеваниями , которое предполагается одинаковым для всех людей в страте. Вектор (который в этом примере является просто скаляром) представляет собой интересующую величину — влияние физических упражнений на сердечно-сосудистые заболевания. Мы также можем включить в контролирующие переменные контрольные переменные .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle X_{i\ell }}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle Y_{i\ell }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle X_{i\ell }}$

Логистическая регрессия, как описано выше, работает удовлетворительно, когда количество страт мало по сравнению с объемом данных. Если мы удерживаем количество страт фиксированным и увеличиваем объем данных, оценки параметров модели ( для каждого слоя и вектора ) сходятся к их истинным значениям. ${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

Однако патологическое поведение возникает, когда у нас много маленьких страт, поскольку количество параметров растет с объемом данных. Например, если каждая страта содержит две точки данных, то количество параметров в модели с точками данных равно , поэтому количество параметров имеет тот же порядок, что и количество точек данных. В этих условиях, когда мы увеличиваем объем данных, асимптотические результаты, на которых основана оценка максимального правдоподобия, недействительны, а полученные оценки смещены. Условная логистическая регрессия решает эту проблему. Фактически, можно показать, что безусловный анализ данных сопоставленных пар приводит к оценке отношения шансов , которая является квадратом правильного, условного. ^[2]${\displaystyle N}$${\displaystyle N/2+p}$

В дополнение к тестам, основанным на логистической регрессии, существовало несколько других тестов до условной логистической регрессии для сопоставленных данных, как показано в связанных тестах. Однако они не позволяли анализировать непрерывные предикторы с произвольным размером страты. Все эти процедуры также не обладают гибкостью условной логистической регрессии и, в частности, возможностью контролировать ковариаты.

Условная логистическая регрессия использует подход условного правдоподобия, который имеет дело с вышеуказанным патологическим поведением, обуславливая количество случаев в каждой страте. Это устраняет необходимость оценки параметров страт.

Когда слои представляют собой пары, где первое наблюдение является случаем, а второе — контролем, это можно увидеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {P} (Y_{i1}=1,Y_{i2}=0|X_{i1},X_{i2},Y_{i1}+Y_{i2}=1)\\&={\frac {\mathbb {P} (Y_{i1}=1|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=0|X_{i2})}{\mathbb {P} (Y_{i1}=1|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=0|X_{i2})+\mathbb {P} (Y_{i1}=0|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=1|X_{i2})}}\\[6pt]\ &={\frac {{\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}{{\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}+{\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}}\\[6pt]\ &={\frac {\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})+\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}.\\[6pt]\end{aligned}}}$

При аналогичных вычислениях условная вероятность страты размером , при этом первыми наблюдениями являются случаи, равна ${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {P} (Y_{ij}=1{\text{ for }}j\leq k,Y_{ij}=0{\text{ for }}k<j\leq m|X_{i1},...,X_{im},\sum _{j=1}^{m}Y_{ij}=k)={\frac {\exp(\sum _{j=1}^{k}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}{\sum _{J\in {\mathcal {C}}_{k}^{m}}\exp(\sum _{j\in J}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}},}$

где — множество всех подмножеств размера множества .${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}^{m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{1,...,m\}}$

Полное условное логарифмическое правдоподобие тогда просто сумма логарифмических правдоподобий для каждого слоя. Оценщик тогда определяется как , который максимизирует условное логарифмическое правдоподобие.${\displaystyle \beta }$

Условная логистическая регрессия доступна в R как функция clogitв survivalпакете. Она находится в survivalпакете, потому что логарифмическое правдоподобие условной логистической модели такое же, как логарифмическое правдоподобие модели Кокса с определенной структурой данных. ^[3]

Он также доступен в Python через statsmodelsпакет, начиная с версии 0.14. ^[4]

• Тест парных разностей позволяет проверить связь между бинарным результатом и непрерывным предиктором, принимая во внимание сопряжение.
• Тест Кохрана-Мантеля-Хензеля позволяет проверить связь между бинарным результатом и бинарным предиктором, принимая во внимание стратификацию с произвольным размером страт. Когда его условия применения проверены, он идентичен тесту условной логистической регрессии . [ ^5]