Методы расчета свободного поверхностного течения

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья может показаться читателям запутанной или непонятной .Пожалуйста, помогите прояснить статью . Возможно, на странице обсуждения будет обсуждение по этому поводу . ( Ноябрь 2014 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) В этой статье не представлен достаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом .Пожалуйста, помогите улучшить статью, предоставив читателю больше контекста . ( Ноябрь 2014 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Ноябрь 2014 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Вычислительные методы для свободного поверхностного потока" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Ноябрь 2014 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В физике свободный поверхностный поток — это поверхность текущей жидкости, которая подвергается как нулевому перпендикулярному нормальному напряжению, так и параллельному касательному напряжению . Это может быть граница между двумя однородными жидкостями, такими как вода в открытом контейнере и воздух в атмосфере Земли , которые образуют границу на открытой стороне контейнера.

Расчет свободных поверхностей сложен из-за непрерывного изменения положения пограничного слоя . Обычные методы расчета недостаточны для такого анализа. Поэтому разрабатываются специальные методы расчета течений на свободных поверхностях.

Вычисление в потоках со свободными и подвижными границами , такими как поток открытого канала, является сложной задачей. Положение границы известно только в начальный момент времени, а ее местоположение в более поздние моменты времени может быть определено с помощью различных методов, таких как метод отслеживания интерфейса и метод захвата интерфейса.

Пренебрегая изменением фазы на свободной поверхности, применяются следующие граничные условия.

Свободная поверхность должна быть резкой границей, разделяющей две жидкости . Через эту границу не должно быть потока, т.е.

${\displaystyle [(v-v_{b})\cdot n]_{fs}=0,}$или

${\displaystyle {\dot {м}}_{фс}=0}$

где нижний индекс обозначает свободную поверхность. Это означает, что нормальная составляющая скорости жидкости на поверхности равна нормальной составляющей скорости свободной поверхности.${\displaystyle \Box _{fs}}$

Силы, действующие на жидкость на свободной поверхности, должны находиться в равновесии , т.е. импульс сохраняется на свободной поверхности. Нормальные силы по обе стороны от свободной поверхности равны и противоположны по направлению, а силы в тангенциальном направлении должны быть равны по величине и направлению.

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot n+\sigma K=-(n\cdot T)_{g}\cdot n,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot t-{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}=(n\cdot T)_{g}\cdot t,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot s-{\frac {\partial \sigma }{\partial s}}=(n\cdot T)_{g}\cdot s,}$

Здесь σ — поверхностное натяжение , n , t и s — единичные векторы в локальной ортогональной системе координат ( n , t , s ) на свободной поверхности ( n — внешняя нормаль к свободной поверхности, а два других лежат в касательной плоскости и взаимно ортогональны ). Индексы ' l' и ' g' обозначают жидкость и газ соответственно, а K — кривизна свободной поверхности.

${\displaystyle K={\frac {1}{R_{t}}}+{\frac {1}{R_{s}}}}$

где R _t и R _s — радиусы кривизны вдоль координат t и s .

Поверхностное натяжение σ представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины элемента поверхности, и действует по касательной к свободной поверхности.

${\displaystyle f_{\sigma }=\sigma \ dl}$

Для бесконечно малого элемента поверхности dS тангенциальные компоненты сил поверхностного натяжения компенсируются, когда σ = const , а нормальную компоненту можно выразить как локальную силу, которая приводит к скачку давления на поверхности.

Это метод, который рассматривает свободную поверхность как резкий интерфейс , движение которого отслеживается. В этом методе сетки с граничными условиями используются и продвигаются каждый раз, когда свободная поверхность перемещается.
Метод отслеживания интерфейса полезен в таких ситуациях, как расчет потока вокруг погруженных тел. Это делается путем придания невозмущенной свободной поверхности линейности, поэтому вводится функция высоты для возвышения свободной поверхности относительно ее невозмущенного состояния.

${\displaystyle Z=H(x,y,t)}$

Это придает кинематическому граничному условию новую форму:

${\displaystyle {\dfrac {\partial H}{\partial t}}=u_{z}-u_{x}{\dfrac {\partial H}{\partial x}}-u_{y}{\dfrac {\partial H}{\partial y}}}$

Это уравнение можно интегрировать, и скорость жидкости на свободной поверхности можно получить либо экстраполяцией из внутренней области, либо с помощью динамического граничного условия. Для расчета потока широко используется метод FV. Шаги для полностью консервативного метода FV этого типа следующие:

• Уравнение импульса решается для получения скорости на текущей свободной поверхности с использованием заданного давления.${\displaystyle u}$_{${\displaystyle я}$}^{${\displaystyle *}$}
• Локальное сохранение массы обеспечивается в каждом CV путем решения уравнения коррекции давления. Масса сохраняется как глобально, так и локально, но коррекция скорости производится на свободной поверхности, давая ненулевой поток массы.
• Положение свободной поверхности корректируется для компенсации ненулевого потока массы с помощью объемного потока, возникающего из-за движения каждой грани ячейки свободной поверхности, путем обеспечения соблюдения кинематических граничных условий.
• Повторяйте до тех пор, пока не исчезнет необходимость в дальнейшей коррекции, удовлетворяющей уравнениям непрерывности и импульса.
• Перейти к следующему временному шагу. ^[1]

Основная проблема алгоритма в этой процедуре заключается в том, что для одной ячейки есть только одно уравнение, но большое количество движущихся узлов сетки. Чтобы избежать нестабильности и отражения волн, метод модифицируется следующим образом:
Из предыдущих шагов мы можем вычислить объем жидкости, который должен быть влит или вылит из CV, чтобы сохранить массу. Чтобы получить координаты вершин CV на свободной поверхности, у нас больше неизвестных и меньше уравнений из-за единого объемного расхода для каждой ячейки.

Следовательно, CV определяются центрами граней ячеек, а не вершинами, а вершины получаются путем интерполяции . Это дает трехдиагональную систему для 2D и может быть решена с использованием метода TDMA . Для 3D система является блочно-трехдиагональной и лучше всего решается одним из итеративных решателей.

При расчете двухжидкостных потоков в некоторых случаях интерфейс может быть слишком сложным для отслеживания при сохранении частоты повторного построения сетки на приемлемом уровне. Невозможность снизить частоту повторного построения сетки в 3D может привести к огромным затратам на генерацию сетки и проекцию, что сделает вычисления с использованием техники отслеживания интерфейса невозможными. В таких случаях можно использовать техники захвата интерфейса, которые обычно не требуют дорогостоящих шагов обновления сетки, с пониманием того, что интерфейс не будет представлен так точно, как это было бы с техникой отслеживания интерфейса. ^[2] Методы, которые не определяют интерфейс как резкую границу. Фиксированная сетка простирается за пределы свободной поверхности, над которой выполняется вычисление. Чтобы определить форму свободной поверхности, вычисляется доля каждой ячейки вблизи интерфейса, которая частично заполнена.

Схема MAC была предложена Харлоу и Уэлчем в 1965 году. В этом методе безмассовая частица вводится в начальный момент времени на свободной поверхности. Движение этой безмассовой частицы отслеживается с течением времени.

Преимущество: эта схема может обрабатывать сложные явления, такие как обрушение волн.

Недостаток: При трехмерном течении решение уравнений, определяющих поток жидкости, а также отслеживание движения большого количества маркеров одновременно требуют высокой вычислительной мощности.

Схема VOF была предложена Хиртом и Николсом в 1981 году. В этом методе доля ячейки, занятая жидкой фазой, может быть рассчитана путем решения уравнения переноса. ^[3] Уравнение переноса имеет вид:

⁠∂c/∂т⁠ + div(cv) = 0

где c — заполненная доля контрольного объема. c=1 для полностью заполненных и c = 0 для полностью пустых контрольных объемов.
Таким образом, в общей сложности для метода VOF необходимо решить три вида уравнений: уравнения сохранения массы, уравнения сохранения импульса, уравнение заполненной доли для каждого контрольного объема.

ПРИМЕЧАНИЕ : В НЕСЖИМАЕМЫХ ПОТОКАХ ВЫШЕПРИВЕДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ДАЕТ ОДИНАКОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ С c И 1 - c, ЧТО ДЕЛАЕТ ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ СОБЛЮДЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАССЫ.

Поскольку схемы более высокого порядка предпочтительнее схем более низкого порядка для предотвращения искусственного смешивания двух жидкостей, важно предотвратить перерегулирование и недорегулирование из-за условия 0 ≤ c ≤ 1. Для таких задач были внесены изменения в схемы MAC и VOF.

Метод маркеров и микроячеек, при котором локальное измельчение сетки осуществляется в соответствии со следующими критериями:

Уточняются только ячейки, имеющие 0 < c < 1.

Этот метод более эффективен, чем схема MAC, поскольку уточняются только ячейки на границе. Но в этом методе профиль свободной поверхности не является четко определенным.

Существуют некоторые потоки жидкости, которые не попадают ни в одну из категорий, например, пузырьковые потоки. Для вычисления таких двухфазных потоков, которые не попадают ни в одну из вышеобсуждаемых категорий, элементы заимствуются из методов захвата поверхности и отслеживания поверхности. Такие методы называются гибридными методами. В этом методе свойства жидкости размазываются по фиксированному числу точек сетки, нормальных к интерфейсу. Теперь, как и в методе захвата интерфейса, обе жидкости рассматриваются как одна жидкость с переменными свойствами. Интерфейс также отслеживается, как в методе отслеживания интерфейса, чтобы предотвратить его размазывание путем перемещения частиц маркера с использованием поля скорости, генерируемого решателем потока. Частицы маркера добавляются и удаляются для поддержания точности путем поддержания приблизительного расстояния между ними равным.