Составная призма
Геометрический объект

Составная призма представляет собой набор из нескольких треугольных призматических элементов , размещенных в контакте и часто скрепленных вместе для формирования прочной сборки. [1] Использование нескольких элементов дает оптическому конструктору несколько преимуществ: [2]

  • Можно достичь спектральной дисперсии, не вызывая отклонения луча на расчетной длине волны. Таким образом, свет на расчетной длине волны, который входит под углом относительно оптической оси, выходит из призмы под тем же углом относительно той же оси. Этот вид эффекта часто называют «дисперсией прямого видения» или «неотклоняющейся дисперсией». [3] θ 0 {\displaystyle \тета _{0}}
  • Можно добиться отклонения падающего луча, при этом значительно уменьшив дисперсию, вносимую в луч: ахроматическая отклоняющая призма . Этот эффект используется в управлении лучом . [4] [5]
  • Можно настроить дисперсию призмы для достижения большей линейности дисперсии или для достижения эффектов дисперсии более высокого порядка.

Дублет

Призма-дуплет, показывающая углы при вершине ('"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' и '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' ) двух элементов, а также углы падения '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' и преломления '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' на каждом интерфейсе. Угол отклонения луча, прошедшего через призму, показан как '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' .
Призма дублета, показывающая углы при вершине ( и ) двух элементов, а также углы падения и преломления на каждом интерфейсе. Угол отклонения луча, прошедшего через призму, показан как . α 1 {\displaystyle \альфа _{1}} α 2 {\displaystyle \альфа _{2}} θ я {\displaystyle \theta _{i}} θ я ′ {\displaystyle \theta '_{i}} δ {\displaystyle \дельта}

Простейшая составная призма — это дублет, состоящий из двух элементов в контакте, как показано на рисунке справа. Луч света, проходящий через призму, преломляется на первом интерфейсе воздух-стекло, снова на интерфейсе между двумя стеклами и в последний раз на выходящем интерфейсе стекло-воздух. Угол отклонения луча определяется разницей в угле луча между падающим лучом и выходящим лучом: . Хотя можно получить дисперсию прямого видения из дублетных призм, обычно наблюдается значительное смещение луча (показано как разделение между двумя пунктирными горизонтальными линиями в направлении y ). Математически можно рассчитать, объединив уравнения закона Снеллиуса на каждом интерфейсе, [2] δ {\displaystyle \дельта} δ = θ 0 − θ 4 {\displaystyle \дельта =\тета _{0}-\тета _{4}} δ {\displaystyle \дельта}

θ 1 = θ 0 − β 1 θ 3 = θ 2 ′ − α 2 θ 1 ′ = арксинус ⁡ ( 1 н 1 грех ⁡ θ 1 ) θ 3 ′ = арксинус ⁡ ( н 2 грех ⁡ θ 3 ) θ 2 = θ 1 ′ − α 1 θ 4 = θ 3 ′ + 1 2 α 2 θ 2 ′ = арксинус ⁡ ( н 1 н 2 грех ⁡ θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}-\beta _{1}&\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta '_{3}&=\arcsin(n_{2}\,\sin \theta _{3})\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta _{4}&=\theta '_{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})\end{aligned}}}

так что угол отклонения является нелинейной функцией показателей преломления стекла и , углов при вершине призматических элементов и , а также угла падения луча. Обратите внимание, что указывает на то, что призма перевернута (вершина направлена ​​вниз). н 1 ( λ ) {\displaystyle n_{1}(\lambda)} н 2 ( λ ) {\displaystyle n_{2}(\lambda)} α 1 {\displaystyle \альфа _{1}} α 2 {\displaystyle \альфа _{2}} θ 0 {\displaystyle \тета _{0}} α я {\displaystyle \альфа _{я}}

Если угол падения и угол при вершине призмы малы, то и , так что нелинейное уравнение по углу отклонения можно аппроксимировать линейной формой θ 0 {\displaystyle \тета _{0}} α {\displaystyle \альфа} грех ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } арксинус ( х ) ≈ х {\displaystyle {\text{arcsin}}(x)\approx x} δ {\displaystyle \дельта}

δ ( λ ) = [ н 1 ( λ ) − 1 ] α 1 + [ н 2 ( λ ) − 1 ] α 2   . {\displaystyle \delta (\lambda )={\big [}n_{1}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{1}+{\big [}n_{2}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{2}\ .}

(См. также отклонение призмы и дисперсия .) Если далее предположить, что зависимость длины волны от показателя преломления приблизительно линейна, то дисперсию можно записать как

Δ = δ 1 ( λ ¯ ) В 1 + δ 2 ( λ ¯ ) В 2   , {\displaystyle \Delta = {\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar {\lambda }})}{V_{2}}}\ ,}

где и — дисперсия и число Аббе элемента внутри составной призмы, . Центральная длина волны спектра обозначается . δ я {\displaystyle \delta _{i}} В я {\displaystyle V_{i}} я {\displaystyle я} В я = ( н ¯ − 1 ) / ( н Ф − н С ) {\displaystyle V_{i}=({\bar {n}}-1)/(n_{F}-n_{C})} λ ¯ {\displaystyle {\bar {\lambda }}}

Дублетные призмы часто используются для дисперсии прямого зрения. Чтобы спроектировать такую ​​призму, мы даем , и одновременно решая уравнения и дает δ ¯ = 0 {\displaystyle {\bar {\delta }}=0} δ {\displaystyle \дельта} Δ {\displaystyle \Дельта}

δ 1 ( λ ¯ ) = − δ 2 ( λ ¯ ) = − Δ ( 1 В 2 − 1 В 1 ) − 1   , {\displaystyle \delta _{1}({\bar {\lambda }})=-\delta _{2}({\bar {\lambda }})=-\Delta {\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ ,}

откуда можно получить углы при вершине элемента и средние показатели преломления выбранных стекол: α 1 {\displaystyle \альфа _{1}} α 2 {\displaystyle \альфа _{2}}

α 1 = Δ н ¯ 1 − 1 ( 1 В 1 − 1 В 2 ) − 1   , α 2 = Δ н ¯ 2 − 1 ( 1 В 2 − 1 В 1 ) − 1   . {\displaystyle {\begin{align}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{1}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{align}}}

Обратите внимание, что эта формула точна только в приближении малых углов.

Двойные друзья

В то время как призма дублета является простейшим составным типом призмы, призма двойного Амичи встречается гораздо чаще. Эта призма представляет собой трехэлементную систему (триплет), в которой первый и третий элементы имеют одинаковое стекло и одинаковые углы при вершине. Таким образом, схема конструкции симметрична относительно плоскости, проходящей через центр ее второго элемента. Из-за ее симметрии линейные уравнения конструкции (в приближении малого угла) для призмы двойного Амичи отличаются от уравнений призмы дублета только на коэффициент 2 перед первым членом в каждом уравнении: [2]

Двойная призма Амичи, показывающая углы при вершинах ('"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"' и '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"' ) трех элементов, а также углы падения '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"' и преломления '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"' на каждом интерфейсе.
Двойная призма Амичи, показывающая углы при вершине ( и ) трех элементов, а также углы падения и преломления на каждом интерфейсе. α 1 {\displaystyle \альфа _{1}} α 2 {\displaystyle \альфа _{2}} θ я {\displaystyle \theta _{i}} θ я ′ {\displaystyle \theta '_{i}}
δ ( λ ¯ ) = 2 δ 1 ( λ ¯ ) + δ 2 ( λ ¯ ) = 2 ( н ¯ 1 − 1 ) α 1 + ( н ¯ 2 − 1 ) α 2   , Δ = 2 δ 1 ( λ ¯ ) В 1 + δ 2 ( λ ¯ ) В 2   . {\displaystyle {\begin{align}\delta ({\bar {\lambda }})&=2\delta _{1}({\bar {\lambda }})+\delta _{2}({\bar {\lambda }})=2{\big (}{\bar {n}}_{1}-1)\alpha _{1}+{\big (}{\bar {n}}_{2}-1)\alpha _{2}\ ,\\\Delta &=2{\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar {\lambda }})}{V_{2}}}\ .\end{align}}}

Таким образом, мы можем вывести выражения для углов призмы, используя эти линейные уравнения, давая

α 1 = Δ 2 ( н ¯ 1 − 1 ) ( 1 В 1 − 1 В 2 ) − 1   , α 2 = Δ н ¯ 2 − 1 ( 1 В 2 − 1 В 1 ) − 1   . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{2({\bar {n}}_{1}-1)}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{aligned}}}

Точное нелинейное уравнение для угла отклонения получается путем объединения уравнений преломления, полученных на каждом интерфейсе: δ {\displaystyle \delta }

θ 1 = θ 0 + α 1 − 1 2 α 2 θ 3 ′ = arcsin ⁡ ( n 2 n 1 sin ⁡ θ 3 ) θ 1 ′ = arcsin ⁡ ( 1 n 1 sin ⁡ θ 1 ) θ 4 = θ 3 ′ − α 1 θ 2 = θ 1 ′ − α 1 θ 4 ′ = arcsin ⁡ ( n 1 sin ⁡ θ 4 ) θ 2 ′ = arcsin ⁡ ( n 1 n 2 sin ⁡ θ 2 ) θ 5 = θ 4 ′ + α 1 − 1 2 α 2 θ 3 = θ 2 ′ − α 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{1}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{1}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}

Угол отклонения луча определяется по формуле . δ = θ 0 − θ 5 {\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}

Триплет

Двойная призма Амичи является симметричной формой более общей триплетной призмы, в которой углы вершины и стекла двух внешних элементов могут различаться (см. рисунок справа). Хотя триплетные призмы редко встречаются в оптических системах, их дополнительные степени свободы за пределами конструкции двойного Амичи позволяют улучшить линейность дисперсии. Угол отклонения триплетной призмы получается путем объединения уравнений преломления на каждом интерфейсе: [6] [7]

Триплетная призма, показывающая углы при вершине ('"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"' , '"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"' и '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"' ) трех элементов, а также углы падения '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' и преломления '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"' на каждом интерфейсе.
Триплетная призма, показывающая углы при вершинах ( , , и ) трех элементов, а также углы падения и преломления на каждом интерфейсе. α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} α 3 {\displaystyle \alpha _{3}} θ i {\displaystyle \theta _{i}} θ i ′ {\displaystyle \theta '_{i}}
θ 1 = θ 0 + α 1 + 1 2 α 2 θ 3 ′ = arcsin ⁡ ( n 2 n 3 sin ⁡ θ 3 ) θ 1 ′ = arcsin ⁡ ( 1 n 1 sin ⁡ θ 1 ) θ 4 = θ 3 ′ − α 3 θ 2 = θ 1 ′ − α 1 θ 4 ′ = arcsin ⁡ ( n 3 sin ⁡ θ 4 ) θ 2 ′ = arcsin ⁡ ( n 1 n 2 sin ⁡ θ 2 ) θ 5 = θ 4 ′ + α 3 + 1 2 α 2 θ 3 = θ 2 ′ − α 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{3}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{3}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{3}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}

Здесь угол отклонения луча определяется выражением . δ = θ 0 − θ 5 {\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ↑ Джон Браунинг, «Заметка об использовании составных призм», MNRAS 31 : 203-205 (1871).
  2. ^ abc Натан Хаген и Томаш С. Ткачик, «Принципы проектирования составных призм, I», Appl. Opt. 50 : 4998-5011 (2011).
  3. ↑ Чарльз Г. Эбботт и Фредерик Э. Фаул-младший, «Призма равномерной дисперсии», Astrophys. J. 11 : 135-139 (1900).
  4. ^ Брэдли Д. Дункан, Филип Дж. Бос и Василий Серган, «Широкоугольное ахроматическое призматическое управление лучом для инфракрасных противодействий», Opt. Eng 42 : 1038-1047 (2003).
  5. ^ Жилин Ху и Эндрю М. Роллинз, «Оптическая когерентная томография в области Фурье с линейным по волновым числам спектрометром», Opt. Lett. 32 : 3525-3527 (2007).
  6. ^ Натан Хаген и Томаш С. Ткачик, «Принципы проектирования составных призм, II: триплетные и призмы Янссена», Appl. Opt. 50 : 5012-5022 (2011).
  7. ^ Натан Хаген и Томаш С. Ткачик, «Принципы проектирования составных призм, III: призмы линейной волновой функции и оптической когерентной томографии», Appl. Opt. 50 : 5023-5030 (2011).
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Compound_prism&oldid=1118139838"