Симметричная матрица

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица , равная своей транспонированной матрице . Формально,

Поскольку равные матрицы имеют равные размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Так что если обозначает элемент в й строке и й столбце, то${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$

для всех индексов и${\displaystyle i}$${\displaystyle j.}$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, так как все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично в характеристике , отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, так как каждый является своим собственным отрицательным значением.

В линейной алгебре действительная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор ^[1], представленный в ортонормированном базисе над действительным внутренним пространством произведения . Соответствующим объектом для комплексного внутреннего пространства произведения является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженной транспонированной матрице . Поэтому в линейной алгебре над комплексными числами часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, которая имеет действительные элементы. Симметричные матрицы естественным образом появляются в различных приложениях, и типичное программное обеспечение числовой линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Следующая матрица является симметричной: Так как .${\displaystyle 3\times 3}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}$

• Сумма и разность двух симметричных матриц симметричны.
• Это не всегда верно для произведения : если заданы симметричные матрицы и , то симметрично тогда и только тогда, когда и коммутируют , т. е. если .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$
• Для любого целого числа симметрично , если симметрично.${\displaystyle n}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$
• Если существует, то он симметричен тогда и только тогда, когда симметричен.${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$
• Ранг симметричной матрицы равен числу ненулевых собственных значений матрицы .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Любая квадратная матрица может быть однозначно записана в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Это разложение известно как разложение Теплица. Пусть обозначает пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц и пространство кососимметричных матриц, то и , т.е. где обозначает прямую сумму . Пусть тогда${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).}$$

Обратите внимание, что и . Это справедливо для любой квадратной матрицы с записями из любого поля, характеристика которого отлична от 2.${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\displaystyle X}$

Симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше ). Аналогично, кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов выше главной диагонали).${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если — симметричная матрица, то таковой является и любая матрица .${\displaystyle X}$${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle A}$

Симметричная матрица (действительная) обязательно является нормальной матрицей .

Обозначим через стандартное скалярное произведение на . Действительная матрица симметрична тогда и только тогда, когда${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , симметрия является свойством, зависящим только от линейного оператора A и выбора скалярного произведения . Такая характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть снабжено скалярным произведением, что приводит к тому, что называется римановым многообразием . Другая область, где используется эта формулировка, — это гильбертовы пространства .

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая симметричная матрица, элементы которой являются действительными, может быть диагонализирована ортогональной матрицей . Более конкретно: для каждой действительной симметричной матрицы существует действительная ортогональная матрица такая, что является диагональной матрицей . Таким образом, каждая действительная симметричная матрица является, с точностью до выбора ортонормированного базиса , диагональной матрицей.${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

Если и являются действительными симметричными матрицами, которые коммутируют, то их можно одновременно диагонализировать ортогональной матрицей: ^[2] существует базис такой, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обеих матриц и .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Каждая действительная симметричная матрица является эрмитовой , и поэтому все ее собственные значения являются действительными. (На самом деле, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (выше), и поэтому определяются однозначно с точностью до порядка ее элементов.) По сути, свойство быть симметричным для действительных матриц соответствует свойству быть эрмитовым для комплексных матриц.${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

Комплексная симметричная матрица может быть «диагонализирована» с помощью унитарной матрицы : таким образом, если — комплексная симметричная матрица, то существует унитарная матрица, такая что — вещественная диагональная матрица с неотрицательными элементами. Этот результат называется факторизацией Аутона–Такаги . Первоначально она была доказана Леоном Аутоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и переоткрыта с различными доказательствами несколькими другими математиками. ^{[3] [4]} Фактически, матрица является эрмитовой и положительно полуопределенной , поэтому существует унитарная матрица, такая что является диагональной с неотрицательными вещественными элементами. Таким образом, является комплексной симметричной с вещественной. Записывая с и вещественными симметричными матрицами, . Таким образом , . Поскольку и коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица, такая что и являются диагональными. Задавая (унитарную матрицу), матрица является комплексной диагональной. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (сохраняющую унитарность ), диагональные элементы можно сделать действительными и неотрицательными по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выражаем диагональную матрицу как . Матрица, которую мы ищем, просто задается как . Очевидно, как и хотелось бы, поэтому мы делаем модификацию . Поскольку их квадраты являются собственными значениями , они совпадают с сингулярными значениями . (Заметьте, что относительно собственного разложения комплексной симметричной матрицы нормальная форма Жордана может не быть диагональной, поэтому ее нельзя диагонализировать никаким преобразованием подобия.)${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\dagger }BV}$${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$${\displaystyle C^{\dagger }C}$${\displaystyle C=X+iY}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$${\displaystyle XY=YX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$${\displaystyle U'=DU}$${\displaystyle A^{\dagger }A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Используя нормальную форму Жордана , можно доказать, что каждая квадратная действительная матрица может быть записана как произведение двух действительных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц. ^[5]

Каждая действительная невырожденная матрица может быть однозначно факторизована как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы , что называется полярным разложением . Вырожденные матрицы также могут быть факторизованы, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица является произведением нижнетреугольной матрицы и ее транспонированной матрицы,${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$$

Если матрица симметрична и неопределенна, ее все равно можно разложить следующим образом: где — матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), треугольная матрица с меньшими единицами, а — прямая сумма симметричных и блоков, что называется разложением Банча–Кауфмана ^[6]${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle 2\times 2}$

Общая (комплексная) симметричная матрица может быть дефектной и, таким образом, не быть диагонализируемой . Если диагонализируема, ее можно разложить следующим образом: где — ортогональная матрица , а — диагональная матрица собственных значений . В частном случае, когда действительная симметрична, то и также действительны. Чтобы увидеть ортогональность, предположим, что и — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям , . Тогда${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$$${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

Так как и различны, то имеем .${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

Симметричные матрицы действительных функций появляются как гессианы дважды дифференцируемых функций действительных переменных (непрерывность второй производной не требуется, несмотря на распространенное мнение об обратном ^[7] ). ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$

Каждая квадратичная форма на может быть единственным образом записана в виде с симметричной матрицей . В силу вышеприведенной спектральной теоремы можно тогда сказать, что каждая квадратичная форма, с точностью до выбора ортонормированного базиса , «выглядит как» с действительными числами . Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровня , которые являются обобщениями конических сечений .${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой многомерной функции описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это является следствием теоремы Тейлора .

Матрица называется симметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица и симметричная матрица такие, что${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, так как и симметрично. Матрица симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$${\displaystyle DSD}$${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$подразумевает для всех${\displaystyle a_{ji}=0}$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$для любой конечной последовательности${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Другие типы симметрии или узоров в квадратных матрицах имеют специальные названия; см., например:

См. также симметрия в математике .

• «Симметричная матрица», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений действительной симметричной матрицы
• Как реализовать симметричную матрицу в C++