Общая сеть
Многоугольник, соединенный ребрами, с несколькими основными формами
Общая развертка для октаэдра и тритетраэдра.

В геометрии общая сеть — это сеть , которую можно сложить на несколько многогранников . Чтобы быть допустимой общей сетью, не должно быть никаких неперекрывающихся сторон, а полученные многогранники должны быть соединены гранями. Исследование примеров этой конкретной сети относится к концу 20-го века, несмотря на это, было найдено не так много примеров. Однако два класса были глубоко изучены: правильные многогранники и кубоиды. Поиск общих сетей обычно осуществляется либо путем обширного поиска, либо путем перекрытия сетей, которые заполняют плоскость.

Демейн и др. доказали, что каждый выпуклый многогранник можно развернуть и сложить заново в другой выпуклый многогранник. [1]

Могут быть типы общих сетей, строгих разверток ребер и свободных разверток. Строгие развертки ребер относятся к общим сетям, в которых различные многогранники, которые можно сложить, используют одни и те же складки, то есть для сворачивания одного многогранника из сети другого нет необходимости делать новые складки. Свободные развертки относятся к противоположному случаю, когда мы можем создать столько складок, сколько необходимо для сворачивания различных многогранников.

Кратность общих сеток относится к числу общих сеток для одного и того же набора многогранников.

Правильные многогранники

Открытая задача 25.31 в «Алгоритме геометрического складывания» Рурка и Демейна гласит:

«Можно ли разрезать любое Платоново тело и развернуть его в многоугольник, который можно развернуть в другое Платоново тело? Например, можно ли куб разрезать таким образом до тетраэдра?» [2]

Эта проблема была частично решена Сиракавой и др. с помощью фрактальной сети, которая, как предполагается, складывается в тетраэдр и куб.

МножественностьМногогранники 1Многогранники 2Ссылка
ТетраэдрКуб[3]
ТетраэдрКубоид (1x1x1.232)[4]
87ТетраэдрДжонсон Солид J17[5]
37ТетраэдрДжонсон Солид J84[5]
КубТетрамоноэдр[6]
КубКубоиды 1x1x7 и 1x3x3[7]
КубОктаэдр (неправильный)[3]
ОктаэдрТетрамоноэдр[8]
Октаэдртетрамоноэдр[6]
ОктаэдрТритетраэдр[9]
ИкосаэдрТетрамоноэдр[6]

Неправильные многогранники

Кубоиды

Общая развертка прямоугольного параллелепипеда 1x1x5 и 1x2x3

Общие сети кубоидов были глубоко исследованы, в основном Уэхарой ​​и его коллегами. На данный момент были найдены общие сети из трех кубоидов. Однако было доказано, что существует бесконечно много примеров сетей, которые можно сложить в более чем один многогранник. [10]

ОбластьМножественностьКубоид 1Кубоид 2Кубоид 3Ссылка
2264951x1x51x2x3[11]
2231x1x51x2x30x1x11[12]
281x2x4√2x√2x3√2[12]
30301x1x71x3x3√5x√5x√5[13]
3010801x1x71x3x3[13]
34112911x1x81x2x5[11]
3823341x1x91x3x4[11]
465681x1x111x3x5[11]
46921x2x71x3x5[11]
5417351x1x133x3x3[11]
5418061x1x131x3x6[11]
543871x3x63x3x3[11]
58371x1x141x4x5[11]
6251x3x72x3x5[11]
64502x2x71x2x10[11]
6462x2x72x4x4[11]
7031x1x171x5x5[11]
70111x2x111x3x8[11]
882182x2x101x4x8[11]
88862x2x102x4x6[11]
1604x4x8√10x2√10x2√10[12]
5327x8x142x4x432x13x16[14]
17927x8x567x14x382x13x58[14]

*Неортогональные складчатости

Поликубы

Первые случаи общих сетей поликубов были найдены в работе Джорджа Миллера, с более поздним вкладом Дональда Кнута, которая достигла кульминации в головоломке Cubigami. [15] Она состоит из сети, которая может складываться во все 7 древовидных тетракубов. Были найдены все возможные общие сети вплоть до пентакубов. Все сети следуют строгому ортогональному складыванию, несмотря на то, что все еще считаются свободными развертками.

ОбластьМножественностьМногогранникиСсылка
1429026Все трикубы[16]
14Все трикубы[11]
1868Все древовидные тетракубы [15][17]
2223 пентакубов[18]
22322 древовидных пентакубов[18]
221Неплоские пентакубы[18]

Дельтаэдры

3D симплициальный многогранник

ОбластьМножественностьМногогранникиСсылка
81Оба 8-гранных дельтаэдра[9]
104дельтаэдры с 7 вершинами[19]

Ссылки

  1. ^ Демейн, Эрик Д.; Демейн, Мартин Л.; Ито, Джин-ичи; Лубив, Анна; Нара, Чи; О'Рурк, Джозеф (2013-10-01). "Refold rigidity of convex polyhedras". Computational Geometry . 46 (8): 979– 989. doi :10.1016/j.comgeo.2013.05.002. hdl : 1721.1/99989 . ISSN  0925-7721.
  2. ^ Демейн, Эрик Д.; О'Рурк, Джозеф (2007). Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85757-4.
  3. ^ ab Тосихиро Сиракава, Такаши Хорияма и Рюхей Уэхара, 27-й европейский семинар по вычислительной геометрии (EuroCG 2011), 2011, 47-50.
  4. ↑ Коити Хирата, личное сообщение, декабрь 2000 г.
  5. ^ ab Araki, Y., Horiyama, T., Uehara, R. (2015). Common Unfolding of Regular Tetrahedron and Johnson-Zalgaller Solid. В: Rahman, MS, Tomita, E. (ред.) WALCOM: Algorithms and Computation. WALCOM 2015. Lecture Notes in Computer Science, т. 8973. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-15612-5_26
  6. ^ abc "Рюхэй Уэхара - Отсутствие общих рёберных развёрток правильного тетраэдра и других платоновых тел - Статьи - researchmap". researchmap.jp . Получено 2024-08-01 .
  7. ^ Сюй Д., Хорияма Т., Сиракава Т., Уэхара Р., Общие разработки трех неконгруэнтных ящиков площади 30, Вычислительная геометрия, 64, 8 2017
  8. ^ Демейн, Эрик; О'Рурк (июль 2007 г.). Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85757-4.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
  9. ^ ab Вайсштейн, Эрик. «Net».
  10. ^ Сиракава, Тосихиро; Уэхара, Рюхэй (февраль 2013 г.). «Общие разработки трех неконгруэнтных ортогональных ящиков». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 23 (1): 65– 71. doi :10.1142/S0218195913500040. ISSN  0218-1959.
  11. ^ abcdefghijklmnopq Митани, Джун; Уэхара, Рюхэй (2008). "Многоугольники, складывающиеся в множественные неконгруэнтные ортогональные коробки" (PDF) . Канадская конференция по вычислительной геометрии .
  12. ^ abc Абель, Захари; Демейн, Эрик; Демейн, Мартин; Мацуи, Хироаки; Роте, Гюнтер; Уэхара, Рюхей. «Общие разработки нескольких различных ортогональных ящиков». 23-я Канадская конференция по вычислительной геометрии : 77– 82. hdl :10119/10308.
  13. ^ ab Xu, Dawei; Horiyama, Takashi; Shirakawa, Toshihiro; Uehara, Ryuhei (август 2017 г.). «Общие разработки трех неконгруэнтных ящиков площади 30». Computational Geometry . 64 : 1– 12. doi :10.1016/j.comgeo.2017.03.001. ISSN  0925-7721.
  14. ^ ab Сиракава, Тосихиро; Уэхара, Рюхэй (февраль 2013 г.). «Общие разработки трех неконгруэнтных ортогональных ящиков». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 23 (1): 65– 71. doi :10.1142/S0218195913500040. ISSN  0218-1959.
  15. ^ ab Миллер, Джордж; Кнут, Дональд. «Кубигами».
  16. ^ Мабри, Рик. «Неоднозначные развёртки поликубов».
  17. ^ Миллер, Джордж. «Кубигами».
  18. ^ abc Aloupis, Greg; Bose, Prosenjit K.; Collette, Sébastien; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Douïeb, Karim; Dujmović, Vida; Iacono, John; Langerman, Stefan; Morin, Pat (2011). "Common Unfoldings of Polyminoes and Polycubes". В Akiyama, Jin; Bo, Jiang; Kano, Mikio; Tan, Xuehou (ред.). Computational Geometry, Graphs and Applications . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7033. Berlin, Heidelberg: Springer. pp.  44– 54. doi :10.1007/978-3-642-24983-9_5. ISBN 978-3-642-24983-9.
  19. ^ Мабри, Рик. «Четыре общие сети пяти дельтаэдров с семью вершинами».
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Common_net&oldid=1244780342"