Теорема Коммандино
Четыре медианы тетраэдра пересекаются
Медианы тетраэдра, пересекающиеся в точке (его центроиде), такие, что С {\displaystyle S}
| А С | | С С Б С Д | = | Б С | | С С А С Д | = | С С | | С С А Б Д | = | Д С | | С С А Б С | = 3 1 {\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}

Теорема Коммандино , названная в честь Федерико Коммандино (1509–1575), утверждает, что четыре медианы тетраэдра пересекаются в точке S , которая делит их в соотношении 3:1. В тетраэдре медиана — это отрезок прямой, соединяющий вершину с центроидом противоположной грани , то есть с центроидом противоположного треугольника. Точка S также является центроидом тетраэдра. [1] [2] [3]

История

Теорема приписывается Коммандино, который в своей работе De Centro Gravitatis Solidorum (Центр тяжести твердых тел, 1565) заявил, что четыре медианы тетраэдра являются параллельными. Однако, по словам ученого 19 века Гийома Либри, Франческо Мавролико (1494–1575) утверждал, что нашел результат раньше. Либри, тем не менее, считал, что он был известен еще раньше Леонардо да Винчи , который, по-видимому, использовал его в своей работе. Джулиан Кулидж разделял эту оценку, но указал, что не смог найти никакого явного описания или математической обработки теоремы в работах да Винчи. [4] Другие ученые предположили, что результат мог быть известен еще греческим математикам во времена античности. [5]

Обобщения

Теорема Коммандино имеет прямой аналог для симплексов любой размерности : [6]

Пусть будет -симплексом некоторой размерности в и пусть будут его вершинами. Кроме того, пусть , будут медианами , линиями, соединяющими каждую вершину с центроидом противоположной -мерной грани . Тогда эти линии пересекаются в точке , в соотношении . Δ {\displaystyle \Дельта} г {\displaystyle д} г > 1 {\displaystyle д>1} Р н ( г , н ∈ Н , н ≥ г ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)} В 0 , В 1 , … , В п {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots,V_{p}} ℓ 0 , ℓ 1 , … , ℓ г {\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots,\ell _{d}} Δ {\displaystyle \Дельта} В я {\displaystyle V_{i}} ( г − 1 ) {\displaystyle (d-1)} В 0 … В я − 1 В я + 1 … В г {\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}} С {\displaystyle S} г : 1 {\displaystyle д:1}

Полная общность

Первый аналог легко доказать с помощью следующего, более общего результата, который аналогичен принципу работы рычагов в физике: [7]

Пусть и — натуральные числа , так что в векторном пространстве заданы попарно различные точки . м {\displaystyle м} к {\displaystyle к} Р {\displaystyle \mathbb {R} } В {\displaystyle {\mathcal {V}}} м + к {\displaystyle м+к} Х 1 , … , Х м , И 1 , … , И к ∈ В {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}
Пусть будет центроидом точек , пусть будет центроидом точек , и пусть будет центроидом всех этих точек. С Х {\displaystyle S_{X}} Х я ( я = 1 , … , м ) {\displaystyle X_{i}\;(i=1,\точки,м)} С И {\displaystyle S_{Y}} И дж ( дж = 1 , … , к ) {\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots,k)} С {\displaystyle S} м + к {\displaystyle м+к}
Тогда, один имеет
С = С Х + к м + к ( С И − С Х ) = м м + к С Х + к м + к С И . {\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}
В частности, центроид лежит на прямой и делит ее в отношении . С {\displaystyle S} С Х С И ¯ {\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}} к : м {\displaystyle к:м}

Теорема Ройша

Предыдущая теорема имеет дополнительные интересные следствия, помимо вышеупомянутого обобщения теоремы Коммандино. Она может быть использована для доказательства следующей теоремы о центроиде тетраэдра, впервые описанной в Mathematische Unterhaltungen немецким физиком Фридрихом Эдуардом Ройшем  [de] : [8] [9]

Центроид тетраэдра можно найти, взяв середины двух пар его противоположных ребер и соединив соответствующие середины через их соответствующую среднюю линию. Точка пересечения обеих средних линий будет центромоидом тетраэдра.

Поскольку тетраэдр имеет шесть ребер в трех противоположных парах, получаем следующее следствие: [8]

В тетраэдре три средние линии, соответствующие серединам противоположных рёбер, пересекаются , а точка их пересечения является центроидом тетраэдра.

Теорема Вариньона

Частный случай теоремы Рёйша, когда все четыре вершины тетраэдра копланарны и лежат в одной плоскости, тем самым вырождаясь в четырехугольник , теорема Вариньона, названная в честь Пьера Вариньона , утверждает следующее: [10] [11]

Пусть дан четырехугольник в . Тогда две средние линии, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в центре тяжести четырехугольника и делятся им пополам. Р 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Ссылки

  1. ^ Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Математическая космическая одиссея: стереометрия в 21 веке . Математическая ассоциация Америки, 2015, ISBN  9780883853580 , стр. 97–98
  2. ^ Натан Альтшиллер-Корт: Тетраэдр и его описанный параллелепипед . Учитель математики, т. 26, № 1 (ЯНВАРЬ 1933), стр. 46–52 (JSTOR)
  3. ^ Норман Шаумбергер: Теорема Коммандино . Журнал двухгодичной колледжской математики, т. 13, № 5 (ноябрь 1982 г.), стр. 331 (JSTOR)
  4. ^ Натан Альтшиллер Корт: Заметки о центроиде . Учитель математики, т. 53, № 1 (ЯНВАРЬ 1960), стр. 34 (JSTOR)
  5. ^ Говард Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . MAA, 1983, ISBN 9780883853108 , стр. 225 
  6. ^ Эгберт Харцхайм (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (на немецком языке). Дармштадт: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. п. 33. ISBN 3-534-07016-X.
  7. ^ Эгберт Харцхайм (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (на немецком языке), Дармштадт, стр. 31, ISBN 3-534-07016-X{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  8. ^ ab Фридрих Йозеф Пифагор Рике (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Цвайтес Хефт. 1973, С. 100, 128.
  9. ^ In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
  10. ↑ Коксетер, op. cit., S. 242
  11. ^ ДУДЕН: Rehnen und Mathematik. 1985, С. 652
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Commandino%27s_theorem&oldid=1235582552"