Конец (теория категорий)

В теории категорий конец функтора — это универсальное динатуральное преобразование из объекта e из X в S. ^[1 ]${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

Более конкретно, это пара , где e — объект X , а — экстраестественное преобразование, такое что для каждого экстраестественного преобразования существует уникальный морфизм X с для каждого объекта a из C.${\displaystyle (e,\omega)}$${\displaystyle \omega :e{\ddot {\to }}S}$${\displaystyle \beta :x{\ddot {\to }}S}$${\displaystyle h:x\to e}$${\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}$

Злоупотребляя языком, объект e часто называют концом функтора S (забыванием ) и записывают${\displaystyle \омега}$

${\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ или просто }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}$

Характеристика как предел: если X является полным , а C малым, то конец можно описать как уравнитель на диаграмме.

${\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}$

где первый уравниваемый морфизм индуцируется , а второй индуцируется .${\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}$${\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}$

Определение коконца функтора является двойственным определению конца.${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

Таким образом, конец S состоит из пары , где d — объект X , а — экстраестественное преобразование, такое, что для каждого экстраестественного преобразования существует уникальный морфизм X с для каждого объекта a из C.${\displaystyle (d,\zeta)}$${\displaystyle \zeta :S{\ddot {\to }}d}$${\displaystyle \gamma :S{\ddot {\to }}x}$${\displaystyle g:d\to x}$${\displaystyle \гамма _{a}=g\circ \дзета _{a}}$

Конец d функтора S записывается как

${\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ или }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}$

Характеристика как копредела: Двойственно, если X является кополным, а C малым, то коконец может быть описан как коуравнитель на диаграмме

${\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}$

• Естественные преобразования:

  Предположим, что у нас есть функторы, тогда${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

  ${\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set } }$.

  В этом случае категория множеств является полной, поэтому нам остается только сформировать эквалайзер и в этом случае

  ${\ displaystyle \ int _ {c} \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {X} } (F (c), G (c)) = \ mathrm {Nat} (F, G)}$

  естественные преобразования из в . Интуитивно, естественное преобразование из в является морфизмом из в для каждого в категории с условиями совместимости. Рассмотрение диаграммы эквалайзера, определяющей конец, делает эквивалентность очевидной.${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F(с)}$${\displaystyle G(c)}$${\displaystyle с}$

• Геометрические реализации :

  Пусть будет симплициальным множеством . То есть, является функтором . Дискретная топология дает функтор , где является категорией топологических пространств. Более того, существует отображение, отправляющее объект в стандартный -симплекс внутри . Наконец, существует функтор , который берет произведение двух топологических пространств.${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle d:\mathbf {Установить} \to \mathbf {Верх} }$${\displaystyle \mathbf {Вверх} }$${\displaystyle \gamma :\Delta \to \mathbf {Верх} }$${\displaystyle [н]}$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbf {Верх} \times \mathbf {Верх} \to \mathbf {Верх} }$

  Определим как композицию этого функтора произведения с . Конец является геометрической реализацией .${\displaystyle S}$${\displaystyle dT\times \гамма}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Т}$

• конец в n Lab