Коэффициенты потенциала

В электростатике коэффициенты потенциала определяют связь между зарядом и электростатическим потенциалом ( электрическим потенциалом ), которая является чисто геометрической:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

где Q _i - поверхностный заряд на проводнике i . Коэффициентами потенциала являются коэффициенты p _ij . φ _i следует правильно читать как потенциал на i -ом проводнике, и, следовательно, " " - это p, обусловленный зарядом 1 на проводнике 2.${\displaystyle p_{21}}$

${\displaystyle p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

Обратите внимание, что:

1. p _ij = p _ji , по симметрии, и
2. p _ij не зависит от заряда.

Физическое содержание симметрии следующее:

если заряд Q на проводнике j переводит проводник i в потенциал φ , то тот же заряд, помещенный на i, переводит j в тот же потенциал φ .

В общем случае коэффициенты используются при описании системы проводников, например, в конденсаторе .

Дано электрическое напряжение на поверхности проводника S _i ( эквипотенциальная поверхность или точка P , выбранная на поверхности i ), содержащегося в системе проводников j = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},}$

где R _ji = | r _i - r _j | , т.е. расстояние от элемента площади da _j до конкретной точки r _i на проводнике i . σ _j , в общем случае, не распределено равномерно по поверхности. Введем фактор f _j , описывающий, как фактическая плотность заряда отличается от средней и самой себя в позиции на поверхности j -го проводника:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},}$

или

${\ displaystyle \ sigma _ {j} = \ langle \ sigma _ {j} \ rangle f_ {j} = {\ frac {Q_ {j}} {S_ {j}}} f_ {j}.}$

Затем,

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.}$

Можно показать, что не зависит от распределения . Следовательно, при ${\displaystyle \int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}}$${\displaystyle \сигма _{j}}$

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},}$

у нас есть

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}. }$

В этом примере мы применяем метод коэффициентов потенциала для определения емкости двухпроводной системы.

Для двухпроводной системы система линейных уравнений имеет вид

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.}$

На конденсаторе заряд на двух проводниках равен и противоположен: Q = Q ₁ = - Q ₂ . Следовательно,

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},}$

и

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.}$

Следовательно,

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

Обратите внимание, что массив линейных уравнений

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_ {j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

можно инвертировать в

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

где c _ij при i = j называются коэффициентами емкости, а c _ij при i ≠ j называются коэффициентами электростатической индукции. ^[1]

Для системы из двух сферических проводников, находящихся под одинаковым потенциалом, ^[2]

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V}$

Если два проводника несут одинаковые и противоположные заряды,

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}$

Можно показать, что система проводников имеет аналогичную симметрию c _ij = c _ji .

• Джеймс Клерк Максвелл (1873) Трактат об электричестве и магнетизме , § 86, стр. 89.