Метод ближайшей точки

Метод ближайшей точки (CPM) — это метод встраивания для решения частных дифференциальных уравнений на поверхностях. Метод ближайшей точки использует стандартные численные подходы, такие как методы конечных разностей, конечных элементов или спектральные методы, чтобы решить встраиваемое частное дифференциальное уравнение (PDE), которое равно исходному PDE на поверхности. Решение вычисляется в полосе, окружающей поверхность, чтобы быть вычислительно эффективным. Чтобы расширить данные за пределы поверхности, метод ближайшей точки использует представление ближайшей точки. Это представление расширяет значения функции до постоянных вдоль направлений, нормальных к поверхности.

Функция ближайшей точки: заданная поверхность ссылается на (возможно, неединственную) точку, принадлежащую , которая является ближайшей к [SE] .${\displaystyle {\mathcal {S}},cp(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Ближайшее точечное расширение: Пусть , будет гладкой поверхностью в . Ближайшим точечным расширением функции , в окрестность , является функция , определяемая соотношением .${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle u:{\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle v:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$${\ displaystyle v (\ mathbf {x}) = u (cp (\ mathbf {x}))}$

Инициализация состоит из следующих шагов [EW] :

• Если оно еще не задано, строится ближайшее точечное представление поверхности.
• Выбирается вычислительная область. Обычно это полоса вокруг поверхности.
• Заменить градиенты поверхности стандартными градиентами в .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Решение инициализируется путем расширения исходных данных поверхности на вычислительную область с использованием ближайшей точечной функции.

После инициализации поочередно выполняйте следующие два шага:

• Используя функцию ближайшей точки, распространите решение за пределы поверхности на вычислительную область.
• Вычислить решение вложенного уравнения в частных производных на декартовой сетке в вычислительной области за один временной шаг.

Поверхностное PDE расширено, однако необходимо решить это новое PDE только вблизи поверхности. Следовательно, мы решаем PDE в полосе, окружающей поверхность, для эффективных вычислительных целей. где - это полоса пропускания.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Omega _{c}{x:\|x-cp(x)\|_{2}\leq \lambda }}$${\displaystyle \лямбда}$

Использование начального профиля приводит к решению уравнения теплопроводности. Прямой временной шаг Эйлера используется с отношением и интерполяционными полиномами четвертой степени для интерполяции. Центрированные разности второго порядка используются для пространственной дискретизации. CPM приводит к ожидаемой ошибке второго порядка в решении .${\displaystyle u_{S}(\theta ,t)=\sin(\theta )}$${\displaystyle u_{S}(\theta ,t)=\exp(-t)\sin(\theta )}$${\displaystyle \Дельта t=0,1\Дельта x^{2}}$${\displaystyle u}$

Метод ближайших точек может быть применен к различным уравнениям в частных производных на поверхностях. Задачи реакции-диффузии на облаках точек [RD] , задачи на собственные значения [EV] и уравнения уровня [LS] — вот несколько примеров.

• Метод установки уровня
• Сегментация изображения
• Собственные значения и собственные векторы

• [EM] Ruuth, SJ, & Merriman, B. (2008). Простой метод вложения для решения частных дифференциальных уравнений на поверхностях. Журнал вычислительной физики, 227(3), 1943–1961 здесь
• [RD] Macdonald, CB, Merriman, B., & Ruuth, SJ (2013). Простое вычисление процессов реакции-диффузии в облаках точек. Труды Национальной академии наук, 110(23), 9209–9214 здесь
• [EV] Macdonald, CB, Brandman, J., & Ruuth, SJ (2011). Решение задач на собственные значения на криволинейных поверхностях с использованием метода ближайших точек. Журнал вычислительной физики, 230(22), 7944–7956. здесь
• [LS] Macdonald, CB, & Ruuth, SJ (2008). Уравнения уровня на поверхностях с помощью метода ближайших точек. Journal of Scientific Computing, 35(2–3), 219–240. здесь