Диск (математика)

В геометрии диск ( также пишется как диск ) ^[1] — это область на плоскости, ограниченная окружностью . Диск называется замкнутым , если он содержит окружность, составляющую его границу, и открытым, если не содержит. ^[2]

Для радиуса открытый диск обычно обозначается как , а замкнутый диск — . Однако в области топологии замкнутый диск обычно обозначается как , а открытый диск — .${\displaystyle r}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$

В декартовых координатах открытый диск с центром и радиусом R задается формулой: ^[1]${\displaystyle (а,б)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\}}$

в то время как замкнутый диск с тем же центром и радиусом определяется выражением:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}$

Площадь замкнутого или открытого диска радиусом R равна π R ² (см. площадь диска ). ^[3]

Диск имеет круговую симметрию . ^[4]

Открытый диск и закрытый диск топологически не эквивалентны (то есть они не гомеоморфны ), поскольку обладают различными топологическими свойствами. Например, каждый закрытый диск компактен , тогда как каждый открытый диск не компактен. ^[5] Однако с точки зрения алгебраической топологии они обладают многими общими свойствами: оба они стягиваемы ^[6] и, следовательно, гомотопически эквивалентны одной точке. Это подразумевает, что их фундаментальные группы тривиальны, и все группы гомологии тривиальны, за исключением 0-й, которая изоморфна Z. Эйлерова характеристика точки (и, следовательно, также замкнутого или открытого диска) равна 1. ^[7]

Каждое непрерывное отображение из замкнутого диска в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[8] Утверждение ложно для открытого диска: ^[9]

Рассмотрим, например, функцию, которая отображает каждую точку открытого единичного круга в другую точку открытого единичного круга справа от заданной. Но для замкнутого единичного круга она фиксирует каждую точку на полукруге${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Равномерное распределение на единичном круговом диске иногда встречается в статистике. Чаще всего оно встречается в исследовании операций в математике городского планирования, где его можно использовать для моделирования населения в городе. Другие применения могут использовать тот факт, что это распределение, для которого легко вычислить вероятность того, что заданный набор линейных неравенств будет удовлетворен. ( Гауссовские распределения на плоскости требуют числовой квадратуры .)

«Гениальный аргумент с помощью элементарных функций» показывает, что среднее евклидово расстояние между двумя точками в круге равно ⁠128/45π⁠ ≈ 0,90541 , ^[10] в то время как прямое интегрирование в полярных координатах показывает, что среднеквадратичное расстояние равно 1 .

Если нам дано произвольное местоположение на расстоянии q от центра диска, также интересно определить среднее расстояние b ( q ) от точек в распределении до этого местоположения и средний квадрат таких расстояний. Последнее значение можно вычислить напрямую как q ² + ⁠1/2⁠ .

Чтобы найти b ( q ), нам нужно отдельно рассмотреть случаи, когда местоположение является внутренним или внешним, т.е. когда q ≶ 1 , и мы обнаруживаем, что в обоих случаях результат может быть выражен только через полные эллиптические интегралы .

Если мы рассматриваем внутреннее расположение, наша цель (глядя на диаграмму) — вычислить ожидаемое значение r при распределении, плотность которого равна ⁠1/π⁠ для 0 ≤ r ≤ s (θ) , интегрируя в полярных координатах с центром в фиксированном месте, для которого площадь ячейки равна r d r dθ  ; следовательно$${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi}}\int _{0}^{2\pi}{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta)}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi}}\int _{0}^{2\pi}s(\theta)^{3}{\textrm {d}}\theta.}$$

Здесь s (θ) можно найти через q и θ , используя закон косинусов . Шаги, необходимые для вычисления интеграла, вместе с несколькими ссылками, можно найти в статье Лью и др.; ^[10] результат таков, что где K и E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. ^[11] b (0) = ⁠$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi}}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ 2/3⁠ ; б (1) = ⁠32/9π⁠ ≈ 1,13177 .

Переходя к внешнему положению, мы можем составить интеграл аналогичным образом, на этот раз получив

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$где закон косинусов говорит нам, что s ₊ (θ) и s _– (θ) являются корнями для s уравнения Следовательно, мы можем подставить u = q sinθ, чтобы получить, используя стандартные интегралы. ^[12]$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta}}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi}}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0,6ex]&={\frac {4}{3\pi}}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0,6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0,6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{выровнено}}}$$

Следовательно, снова b (1) = ⁠32/9π⁠ , в то время как также ^[13]$${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

• Единичный диск , диск с радиусом один
• Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими окружностями
• Шар (математика) , обычный термин для трехмерного аналога диска.
• Дисковая алгебра , пространство функций на диске
• Круговой сегмент
• Ортоцентроидальный диск , содержащий определенные центры треугольника