Закрытая выпуклая функция

Термины в математике

В математике функция называется замкнутой , если для каждой функции множество подуровней является замкнутым множеством . $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $\альфа \in \mathbb {R}$ $\{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}$

Эквивалентно, если эпиграф, определяемый как замкнут, то функция замкнута. ${\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}$ $f$

Это определение справедливо для любой функции, но чаще всего используется для выпуклых функций . Собственная выпуклая функция замкнута тогда и только тогда, когда она полунепрерывна снизу . ^[1]

Характеристики

Если — непрерывная функция и замкнута, то замкнута. $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\mbox{dom}}f$ $f$
Если — непрерывная функция и открыта, то замкнута тогда и только тогда, когда она сходится к вдоль каждой последовательности, сходящейся к граничной точке . ^[2] $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\mbox{dom}}f$ $f$ $\infty$ ${\mbox{dom}}f$
Замкнутая собственная выпуклая функция f — это поточечный супремум совокупности всех аффинных функций h таких, что h ≤ f (называемых аффинными минорантами функции f ).

Ссылки

^ Теория выпуклой оптимизации . Athena Scientific. 2009. С. 10, 11. ISBN 978-1886529311.
^ Бойд, Стивен; Ванденберг, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (PDF) . Нью-Йорк: Кембридж. С. 639–640. ISBN 978-0521833783.

Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[1] Теория выпуклой оптимизации . Athena Scientific. 2009. С. 10, 11. ISBN 978-1886529311.

[2] Бойд, Стивен; Ванденберг, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (PDF) . Нью-Йорк: Кембридж. С. 639–640. ISBN 978-0521833783.