Коэффициенты Клебша–Гордана

В физике коэффициенты Клебша –Гордана ( КГ ) — это числа, которые возникают при взаимодействии углового момента в квантовой механике . Они появляются как коэффициенты разложения собственных состояний полного углового момента в несвязанном базисе тензорного произведения . В более математических терминах коэффициенты КГ используются в теории представлений , в частности, компактных групп Ли , для выполнения явного прямого суммирования разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений (т. е. приводимого представления в неприводимые представления в случаях, когда числа и типы неприводимых компонентов уже известны абстрактно). Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша и Пауля Гордана , которые столкнулись с эквивалентной проблемой в теории инвариантов .

С точки зрения векторного исчисления коэффициенты CG, связанные с группой SO(3), можно определить просто в терминах интегралов произведений сферических гармоник и их комплексно сопряженных. Сложение спинов в квантово-механических терминах можно прочитать непосредственно из этого подхода, поскольку сферические гармоники являются собственными функциями полного углового момента и его проекции на ось, а интегралы соответствуют внутреннему произведению гильбертова пространства . ^[1] Из формального определения углового момента можно найти рекурсивные соотношения для коэффициентов Клебша–Гордана. Существуют также сложные явные формулы для их прямого вычисления. ^[2]

В приведенных ниже формулах используется обозначение Дирака в скобках и принято соглашение о фазах Кондона–Шортли ^{[3] .}

Операторы углового момента являются самосопряженными операторами j _x , j _y и j _z , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям , где ε _klm — символ Леви-Чивиты . Вместе эти три оператора определяют векторный оператор , декартов тензорный оператор ранга один , Он также известен как сферический вектор , поскольку он также является сферическим тензорным оператором. Только для ранга один сферические тензорные операторы совпадают с декартовыми тензорными операторами.$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l }-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$$${\ displaystyle \ mathbf {j} = (\ mathrm {j_ {x}}, \ mathrm {j_ {y}}, \ mathrm {j_ {z}}).}$$

Развивая эту концепцию дальше, можно определить другой оператор j ² как скалярное произведение j на самого себя: Это пример оператора Казимира . Он диагонален, и его собственное значение характеризует конкретное неприводимое представление алгебры углового момента . Это физически интерпретируется как квадрат полного углового момента состояний, на которые действует представление.$${\ displaystyle \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathrm {j_ {x} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {y} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {z} ^ {2} } .}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

Можно также определить повышающие ( j ₊ ) и понижающие ( j ₋ ) операторы, так называемые лестничные операторы ,$${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Из приведенных выше определений можно показать, что j ² коммутирует с j _x , j _y и j _z :$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x},\mathrm {y},\ mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Когда два эрмитовых оператора коммутируют, существует общий набор собственных состояний. Обычно выбираются j ² и j _{z . Из коммутационных соотношений можно найти возможные собственные значения. Эти собственные состояния обозначаются} как | j m ⟩ , где j — квантовое число углового момента , а m — проекция углового момента на ось z.

Они составляют сферический базис , являются полными и удовлетворяют следующим уравнениям собственных значений:$${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{align}}}$$

Операторы повышения и понижения могут использоваться для изменения значения m , где коэффициент лестницы определяется по формуле:$${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_ {\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle,}$$

$${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.}$$

1

В принципе, можно также ввести (возможно, комплексный) фазовый множитель в определение . Выбор, сделанный в этой статье, согласуется с соглашением о фазах Кондона–Шортли . Состояния углового момента ортогональны (поскольку их собственные значения относительно эрмитова оператора различны) и предполагаются нормализованными,${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$$${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Здесь курсивные j и m обозначают целые или полуцелые числа углового момента квантовых чисел частицы или системы. С другой стороны, римские j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ и j ² обозначают операторы. Символы — дельты Кронекера .${\displaystyle \дельта}$

Теперь рассмотрим системы с двумя физически различными угловыми моментами j ₁ и j ₂ . Примерами служат спин и орбитальный угловой момент одного электрона, или спины двух электронов, или орбитальные угловые моменты двух электронов. Математически это означает, что операторы углового момента действуют на пространство размерности , а также на пространство размерности . Затем мы определим семейство операторов «полного углового момента», действующих на пространство тензорного произведения , которое имеет размерность . Действие оператора полного углового момента на это пространство составляет представление алгебры Ли SU(2), но приводимое. Редукция этого приводимого представления на неприводимые части является целью теории Клебша–Гордана.${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 2j_{1}+1}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle 2j_{2}+1}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Пусть V ₁ будет (2 j ₁ + 1) -мерным векторным пространством, охватываемым состояниями , а V ₂ будет (2 j ₂ + 1) -мерным векторным пространством , охватываемым состояниями.$${\displaystyle {\begin{align}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{align}},}$$$${\displaystyle {\begin{align}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{align}}.}$$

Тензорное произведение этих пространств, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , имеет (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -мерный несвязанный базис . Операторы углового момента определяются для действия на состояния в V ₃ следующим образом: и где 1 обозначает тождественный оператор.$${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$$${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$$${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

Полные ^{[nb 1] операторы} углового момента определяются копроизведением ( или тензорным произведением ) двух представлений, действующих на V ₁ ⊗ V ₂ ,

Можно показать, что операторы полного углового момента удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям , где k , l , m ∈ { x , y , z } . Действительно, предыдущая конструкция является стандартным методом ^[4] построения действия алгебры Ли на представлении тензорного произведения.$${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

Следовательно, набор связанных собственных состояний существует также для оператора полного углового момента, для M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . Обратите внимание, что часть [ j ₁ j ₂ ] обычно опускается .$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

Полное квантовое число углового момента J должно удовлетворять треугольному условию, чтобы три неотрицательных целых или полуцелых значения соответствовали трем сторонам треугольника. ^[5]$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

Общее число собственных состояний полного углового момента обязательно равно размерности V ₃ : Как следует из этого вычисления, представление тензорного произведения разлагается как прямая сумма одной копии каждого из неприводимых представлений размерности , где варьируется от до с шагом 1. ^[6] В качестве примера рассмотрим тензорное произведение трехмерного представления, соответствующего двумерному представлению с . Возможные значения тогда равны и . Таким образом, шестимерное представление тензорного произведения разлагается как прямая сумма двумерного представления и четырехмерного представления.$${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$${\displaystyle 2J+1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}=1}$${\displaystyle j_{2}=1/2}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=1/2}$${\displaystyle J=3/2}$

Теперь цель состоит в том, чтобы явно описать предыдущее разложение, то есть явно описать базисные элементы в пространстве тензорного произведения для каждого из возникающих компонентных представлений.

Состояния полного углового момента образуют ортонормированный базис V ₃ :$${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Эти правила могут быть итерированы, например, для объединения n дублетов ( s =1/2) для получения ряда разложения Клебша-Гордана ( треугольник Каталана ), где — целочисленная функция пола ; а число, предшествующее жирной метке размерности неприводимого представления ( 2 j +1 ), указывает кратность этого представления в редукции представления. ^[7] Например, из этой формулы сложение трех спинов 1/2s дает спин 3/2 и два спина 1/2s, .$${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Связанные состояния могут быть расширены с помощью отношения полноты (разрешения тождества) в несвязанном базисе

$${\displaystyle |J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

2

Коэффициенты расширения

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

являются коэффициентами Клебша–Гордана . Обратите внимание, что некоторые авторы записывают их в другом порядке, например ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩ . Другое распространенное обозначение — ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^ДжМ
_{дж 1 м 1 дж 2 м 2}.

Применение операторов

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

к обеим сторонам определяющего уравнения показывает, что коэффициенты Клебша–Гордана могут быть ненулевыми только тогда, когда

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

Рекурсивные соотношения были открыты физиком Джулио Рака из Еврейского университета в Иерусалиме в 1941 году.

Применение операторов повышения и понижения полного углового момента к левой части определяющего уравнения дает Применение тех же операторов к правой части дает$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Объединение этих результатов дает рекурсивные соотношения для коэффициентов Клебша–Гордана, где C _± было определено в 1 :$${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Взяв верхний знак при условии, что M = J, получаем начальное рекурсивное соотношение: В соглашении о фазах Кондона–Шортли добавляется ограничение, что$${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(и, следовательно, также является действительным). Коэффициенты Клебша–Гордана ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ затем могут быть найдены из этих рекурсивных соотношений. Нормализация фиксируется требованием, чтобы сумма квадратов, что эквивалентно требованию, чтобы норма состояния |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ была равна единице.

Нижний знак в рекурсивном соотношении можно использовать для нахождения всех коэффициентов Клебша–Гордана с M = J − 1. Повторное использование этого уравнения дает все коэффициенты.

Эта процедура нахождения коэффициентов Клебша–Гордана показывает, что все они действительны в соответствии с соглашением о фазах Кондона–Шортли.

Наиболее наглядно их можно записать, введя альтернативную запись$${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

Первое соотношение ортогональности равно (выводится из того факта, что ), а второе равно$${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$$${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

При J = 0 коэффициенты Клебша–Гордана определяются выражением$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Для J = j ₁ + j ₂ и M = J имеем$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Для j ₁ = j ₂ = J / 2 и m ₁ = − m ₂ имеем$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Для j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ имеем$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Для j ₂ = 1 , m ₂ = 0 имеем$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Для j ₂ = 1/2 имеем$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Удобный способ вывести эти соотношения — преобразовать коэффициенты Клебша–Гордана в символы Вигнера 3-j с помощью 3. Свойства симметрии символов Вигнера 3-j гораздо проще.

При упрощении фазовых факторов требуется осторожность: квантовое число может быть полуцелым, а не целым числом, поэтому (−1) ^{2 k} не обязательно равно 1 для данного квантового числа k, если только не может быть доказано, что оно является целым числом. Вместо этого оно заменяется следующим более слабым правилом: для любого квантового числа k, подобного угловому моменту .$${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

Тем не менее, комбинация j _i и m _i всегда является целым числом, поэтому для этих комбинаций применяется более строгое правило: это тождество также выполняется, если знак j _i или m _i или обоих чисел меняется на противоположный.$${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

Полезно заметить, что любой фазовый фактор для данной пары ( j _i , m _i ) может быть сведен к канонической форме: где a ∈ {0, 1, 2, 3} и b ∈ {0, 1} (возможны и другие соглашения). Преобразование фазовых факторов в эту форму позволяет легко определить, эквивалентны ли два фазовых фактора. (Обратите внимание, что эта форма является только локально канонической: она не учитывает правила, управляющие комбинациями пар ( j _i , m _i ), такими как описанная в следующем абзаце.)$${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

Дополнительное правило справедливо для комбинаций j ₁ , j ₂ и j ₃ , связанных коэффициентом Клебша-Гордана или символом Вигнера 3-j: это тождество справедливо также, если знак любого j _i меняется на противоположный или если любой из них заменяется на m _i .$${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

Коэффициенты Клебша–Гордана связаны с 3-j-символами Вигнера , которые имеют более удобные соотношения симметрии.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

3

Множитель (−1) ^{2 j ₂} обусловлен ограничением Кондона–Шортли, что ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , тогда как (–1) ^{J − M} обусловлен обращенной во времени природой | JM ⟩ .

Это позволяет прийти к общему выражению:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

Суммирование производится по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний верхний Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения символа 3 j при, например, или автоматически устанавливаются равными нулю.${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

В случае, когда речь идет о целых числах, коэффициенты можно связать с интегралами сферических гармоник :$${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

Из этого и ортонормальности сферических гармоник следует, что коэффициенты КГ на самом деле являются коэффициентами разложения произведения двух сферических гармоник по одной сферической гармонике:$${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Для произвольных групп и их представлений коэффициенты Клебша–Гордана в общем случае неизвестны. Однако известны алгоритмы для получения коэффициентов Клебша–Гордана для специальной унитарной группы SU( n ). ^{[8] [9]} В частности, коэффициенты Клебша–Гордана SU(3) были вычислены и табулированы из-за их полезности при описании адронных распадов, где существует ароматическая симметрия -SU(3), которая связывает верхние , нижние и странные кварки. ^{[10] [11] [12]} Веб-интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша–Гордана SU(N) легко доступен.

• Алекс, А.; Калус, М.; Хаклберри, А.; фон Делфт, Дж. (2011). "Численный алгоритм для явного вычисления коэффициентов Клебша–Гордана для SU(N) и SL(N,C)". J. Math. Phys . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Bibcode :2011JMP....52b3507A. doi :10.1063/1.3521562. S2CID  55572438.
• Кондон, Эдвард У.; Шортли, ГХ (1970). "Гл. 3". Теория атомных спектров. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-09209-8.
• Эдмондс, AR (1957). Угловой момент в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Грейнер, Уолтер ; Мюллер, Берндт (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 978-3540580805.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Каплан, Л. М.; Резников, М. (1967). "Матричные произведения и явные 3, 6, 9 и 12j коэффициенты регулярного представления SU(n)". J. Math. Phys . 8 (11): 2194. Bibcode :1967JMP.....8.2194K. doi :10.1063/1.1705141.
• Kaeding, Thomas (1995). "Таблицы изоскалярных факторов SU(3)". Atomic Data and Nuclear Data Tables . 61 (2): 233– 288. arXiv : nucl-th/9502037 . Bibcode :1995ADNDT..61..233K. doi :10.1006/adnd.1995.1011.
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). John Wiley. стр. 428–9. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Альберт Мессия (1966). Квантовая механика (т. I и II), английский перевод с французского GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• de Swart, JJ (1963). "Модель Octet и ее коэффициенты Клебша-Гордана". Rev. Mod. Phys. (Представленная рукопись). 35 (4): 916. Bibcode :1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916.

• Накамура, Кензо и др. (2010). "Обзор физики частиц: коэффициенты Клебша-Гордана, сферические гармоники и d-функции" (PDF) . Журнал физики G: Ядерная физика и физика частиц . 37 (75021): 368. Bibcode :2010JPhG...37g5021N. doi :10.1088/0954-3899/37/7A/075021. Частичное обновление для издания 2012 года
• Веб-калькулятор коэффициентов Клебша–Гордана, 3-j и 6-j
• Загружаемый калькулятор коэффициента Клебша-Гордана для Mac и Windows
• Веб-интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша–Гордана SU(N)