Круговой ансамбль

В теории случайных матриц круговые ансамбли являются мерами на пространствах унитарных матриц, введенными Фрименом Дайсоном как модификации ансамблей гауссовых матриц . [1] Три основных примера — круговой ортогональный ансамбль (COE) на симметричных унитарных матрицах, круговой унитарный ансамбль (CUE) на унитарных матрицах и круговой симплектический ансамбль (CSE) на самодуальных унитарных кватернионных матрицах.

Распределение вероятностей

Распределение унитарного кругового ансамбля CUE( n ) является мерой Хаара на унитарной группе U(n) . Если U — случайный элемент CUE( n ), то U T U — случайный элемент COE( n ); если U — случайный элемент CUE( 2n ), то U R U — случайный элемент CSE( n ), где

У Р = ( 0 − 1 1 0 0 − 1 1 0 ⋱ 0 − 1 1 0 ) У Т ( 0 1 − 1 0 0 1 − 1 0 ⋱ 0 1 − 1 0 )   . {\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.}

Каждый элемент кругового ансамбля является унитарной матрицей, поэтому он имеет собственные значения на единичной окружности: с для k=1,2,... n , где также известны как собственные углы или собственные фазы . В CSE каждое из этих n собственных значений появляется дважды. Распределения имеют плотности относительно собственных углов, заданные как λ к = е я θ к {\displaystyle \lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}} 0 ≤ θ к < 2 π {\displaystyle 0\leq \theta _{k}<2\pi} θ к {\displaystyle \theta _{k}}

п ( θ 1 , ⋯ , θ н ) = 1 З н , β ∏ 1 ≤ к < дж ≤ н | е я θ к − е я θ дж | β   {\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}

на (симметризированная версия), где β=1 для COE, β=2 для CUE и β=4 для CSE. Константа нормализации Z n,β определяется как Р [ 0 , 2 π ] н {\displaystyle \mathbb {R} _{[0,2\пи]}^{n}}

З н , β = ( 2 π ) н Г ( β н / 2 + 1 ) ( Г ( β / 2 + 1 ) ) н   , {\displaystyle Z_{n,\beta}=(2\pi)^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}

что можно проверить с помощью интегральной формулы Сельберга или интегральной формулы Вейля для компактных групп Ли.

Обобщения

Обобщения кругового ансамбля ограничивают матричные элементы U действительными числами [так что U находится в ортогональной группе O(n) ] или действительными кватернионными числами [так что U находится в симплектической группе Sp(2n) . Мера Хаара на ортогональной группе создает круговой действительный ансамбль (CRE), а мера Хаара на симплектической группе создает круговой кватернионный ансамбль (CQE).

Собственные значения ортогональных матриц входят в комплексно-сопряженные пары и , возможно, дополненные собственными значениями, фиксированными на +1 или -1 . Для n=2m четно и det U=1 фиксированных собственных значений нет, а фазы θ k имеют распределение вероятностей [2] е я θ к {\displaystyle e^{i\theta _{k}}} е − я θ к {\displaystyle e^{-i\theta _{k}}}

п ( θ 1 , ⋯ , θ м ) = С ∏ 1 ≤ к < дж ≤ м ( потому что ⁡ θ к − потому что ⁡ θ дж ) 2   , {\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}

где C — неопределенная константа нормировки. Для нечетного n=2m+1 имеется одно фиксированное собственное значение σ=det U, равное ±1. Фазы имеют распределение

п ( θ 1 , ⋯ , θ м ) = С ∏ 1 ≤ я ≤ м ( 1 − σ потому что ⁡ θ я ) ∏ 1 ≤ к < дж ≤ м ( потому что ⁡ θ к − потому что ⁡ θ дж ) 2   . {\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}

Для четного n=2m+2 и det U=-1 имеется пара собственных значений, зафиксированных на +1 и -1 , в то время как фазы имеют распределение

п ( θ 1 , ⋯ , θ м ) = С ∏ 1 ≤ я ≤ м ( 1 − потому что 2 ⁡ θ я ) ∏ 1 ≤ к < дж ≤ м ( потому что ⁡ θ к − потому что ⁡ θ дж ) 2   . {\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}

Это также распределение собственных значений матрицы в Sp(2m) .

Эти функции плотности вероятности называются распределениями Якоби в теории случайных матриц, поскольку корреляционные функции могут быть выражены через полиномы Якоби .

Расчеты

Средние значения произведений матричных элементов в круговых ансамблях можно вычислить с помощью функций Вайнгартена . Для большой размерности матрицы эти вычисления становятся непрактичными, и численный метод оказывается выгодным. Существуют эффективные алгоритмы для генерации случайных матриц в круговых ансамблях, например, путем выполнения QR-разложения матрицы Жинибра. [3]

Ссылки

  1. ^ FM Dyson (1962). "Тройной путь. Алгебраическая структура групп симметрии и ансамблей в квантовой механике". Журнал математической физики . 3 (6): 1199. Bibcode :1962JMP.....3.1199D. doi :10.1063/1.1703863.
  2. ^ В. Л. Гирко (1985). "Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц". Украинский математический журнал . 37 (5): 457. doi :10.1007/bf01061167. S2CID  120597749.
  3. ^ F. Mezzadri (2007). "Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп" (PDF) . Notices of the AMS . 54 : 592. arXiv : math-ph/0609050 . Bibcode : 2006math.ph...9050M.

Реализации программного обеспечения

  • «Круговые ансамбли Wolfram Mathematica». Wolfram Language .
  • Сьюзен, Мехмет (2017). «Бристоль: пакет Python для случайных матричных ансамблей (параллельная реализация генерации круговых ансамблей)». doi :10.5281/zenodo.579642.
    • «Бристоль: Пакет Python для случайных матричных ансамблей». pypi .
  • Мехта, Мадан Лал (2004), Случайные матрицы , Чистая и прикладная математика (Амстердам), т. 142 (3-е изд.), Elsevier/Academic Press, Амстердам, ISBN 978-0-12-088409-4, МР  2129906
  • Форрестер, Питер Дж. (2010), Лог-газы и случайные матрицы , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Circular_ensemble&oldid=1272000214"