Диаграмма Чихоня

В теории множеств диаграмма Чихоня или диаграмма Чихона представляет собой таблицу из 10 бесконечных кардинальных чисел, связанных с теорией множеств действительных чисел, отображающую доказуемые отношения между этими кардинальными характеристиками континуума . Все эти кардиналы больше или равны , наименьшему несчетному кардиналу, и они ограничены сверху , мощностью континуума . Четыре кардинала описывают свойства идеала множеств меры нуль ; еще четыре описывают соответствующие свойства идеала тощих множеств (множеств первой категории) .${\displaystyle \алеф _{1}}$${\displaystyle 2^{\алеф _{0}}}$

Пусть I — идеал фиксированного бесконечного множества X , содержащий все конечные подмножества X. Определим следующие « кардинальные коэффициенты » I :

• ${\displaystyle \operatorname {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.}$

«Аддитивность» I — это наименьшее число множеств из I , объединение которых больше не содержится в I. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ; если I — σ-идеал, то add( I ) ≥  .${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.}$

«Покрывающее число» I — это наименьшее число множеств из I , объединение которых представляет собой все X. Поскольку само X не принадлежит I , мы должны иметь add( I ) ≤ cov( I ).

• ${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq X\ \wedge \ {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},}$

«Число однородности» I (иногда также пишется ) — это размер наименьшего множества, не входящего в I. Согласно нашему предположению относительно I , add( I ) ≤ non( I ).${\displaystyle \operatorname {unif} (I)}$

• ${\displaystyle \operatorname {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge (\forall B\in I)(\exists A\in {\mathcal {A}})(B\subseteq A){\big \}}.}$

«Конфинальность» I — это конфинальность частичного порядка ( I , ⊆). Легко видеть, что у нас должно быть non( I ) ≤ cof( I ) и cov( I ) ≤ cof( I ).

Кроме того, « ограничивающее число » или «число неограниченности» и « доминирующее число » определяются следующим образом:${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$

где « » означает: «существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что …», а « » означает «для всех, за исключением конечного числа натуральных чисел n, имеем …».${\displaystyle \exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$${\displaystyle \forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$

Пусть — σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые являются тощими (или «первой категории») в евклидовой топологии , и пусть — σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые имеют нулевую меру Лебега . Тогда справедливы следующие неравенства:${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

		${\displaystyle \operatorname {cov} ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {non} ({\mathcal {B}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {B}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
				${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle \uparrow }$
		${\displaystyle {\Bigg \uparrow }}$		${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$		${\displaystyle {\Bigg \uparrow }}$
				${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle \uparrow }$
${\displaystyle \aleph _{1}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {add} {({\mathcal {L}})}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {add} {({\mathcal {B}})}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {cov} {({\mathcal {B}})}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \operatorname {non} {({\mathcal {L}})}}$

Где стрелка от к означает, что . Кроме того, выполняются следующие соотношения: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle \operatorname {add} ({\mathcal {B}})=\min\{\operatorname {cov} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {b}}\}}$ и

${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {B}})=\max\{\operatorname {non} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {d}}\}.}$^[1]

Оказывается, что неравенства, описанные диаграммой, вместе с упомянутыми выше отношениями, являются всеми отношениями между этими кардиналами, которые доказуемы в ZFC , в следующем ограниченном смысле. Пусть A — любое назначение кардиналов и 10 кардиналам в диаграмме Чихоня. Тогда, если A согласуется с отношениями диаграммы, и если A также удовлетворяет двум дополнительным отношениям, то A может быть реализовано в некоторой модели ZFC.${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$

Для больших размеров континуума ситуация менее ясна. С ZFC согласуется, что все кардиналы диаграммы Чихоня одновременно различны, за исключением и (которые равны другим записям). ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \operatorname {add} ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {B}})}$

Некоторые неравенства на диаграмме (например, "add ≤ cov") следуют непосредственно из определений. Неравенства и являются классическими теоремами и следуют из того факта, что вещественная прямая может быть разделена на разреженное множество и множество меры нуль.${\displaystyle \operatorname {cov} ({\mathcal {B}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {cov} ({\mathcal {L}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {B}})}$

Британский математик Дэвид Фремлин назвал диаграмму в честь польского математика из Вроцлава Яцека Цихоня  [pl] . ^[5]

Континуальная гипотеза о равенстве сделала бы все эти отношения равенствами.${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Аксиома Мартина , ослабление гипотезы континуума, подразумевает, что все кардиналы на диаграмме (за исключением, возможно, ) равны .${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Аналогичные диаграммы можно нарисовать для кардинальных характеристик высших кардиналов для строго недоступных , которые сортируют различные кардиналы между и . ^[6]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$${\displaystyle 2^{\kappa }}$