Хорда (геометрия)
Геометрический отрезок прямой, обе конечные точки которого лежат на кривой
Обычные линии и отрезки на окружности, включая хорду синего цвета

Хорда (от латинского chorda , что означает « тетива ») окружности — это отрезок прямой линии , концы которого лежат на дуге окружности . Если бы хорду можно было бы бесконечно продолжить в обоих направлениях в линию , то объектом была бы секущая линия . Перпендикулярная линия, проходящая через середину хорды , называется sagitta (лат. «стрела»).

В более общем смысле, хорда — это отрезок прямой, соединяющий две точки на любой кривой , например, на эллипсе . Хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром окружности .

В кругах

Среди свойств хорд окружности можно выделить следующие:

  1. Хорды ​​равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
  2. Равные хорды опираются на равные углы из центра окружности.
  3. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и является самой длинной хордой данной окружности.
  4. Если продолжения прямых (секущие) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют соотношению AP·PB = CP·PD ( теорема о степени точки ).

В кониках

Средние точки набора параллельных хорд конического сечения лежат на одной прямой ( теорема о средней точке для конических сечений ). [1]

В тригонометрии

Хорды ​​широко использовались в раннем развитии тригонометрии . Первая известная тригонометрическая таблица, составленная Гиппархом во II веке до н. э., не сохранилась, но она содержала значение функции хорды для каждого ⁠7+1/2⁠ градусов . Во 2 веке нашей эры Птолемей составил более обширную таблицу хорд в своей книге по астрономии , указав значение хорды для углов в диапазоне от ⁠1/2⁠ до 180 градусов с шагом ⁠1/2⁠ градуса. Птолемей использовал окружность диаметром 120 и дал длины хорд с точностью до двух шестидесятеричных (основание шестьдесят) цифр после целой части. [2]

Функция хорды геометрически определяется, как показано на рисунке. Хорда угла — это длина хорды между двумя точками на единичной окружности, разделенными этим центральным углом . Угол θ берется в положительном смысле и должен лежать в интервале 0 < θ ≤ π (радианная мера). Функцию хорды можно связать с современной функцией синуса , взяв одну из точек за (1,0), а другую за ( cos θ , sin θ ), а затем используя теорему Пифагора для вычисления длины хорды: [2]

крд ⁡   θ = ( 1 − потому что ⁡ θ ) 2 + грех 2 ⁡ θ = 2 − 2 потому что ⁡ θ = 2 грех ⁡ ( θ 2 ) . {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).} [3]

Последний шаг использует формулу половинного угла . Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была построена на функции хорды. Гиппарх, как предполагается, написал двенадцатитомный труд о хордах, который теперь утерян, так что, по-видимому, о них было известно очень много. В таблице ниже (где c — длина хорды, а D — диаметр окружности) можно показать, что функция хорды удовлетворяет многим тождествам, аналогичным известным современным:

ИмяНа основе синусаАккордовый
пифагорейский грех 2 ⁡ θ + потому что 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} крд 2 ⁡ θ + крд 2 ⁡ ( π − θ ) = 4 {\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}
Половина угла грех ⁡ θ 2 = ± 1 − потому что ⁡ θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,} крд ⁡   θ 2 = 2 − крд ⁡ ( π − θ ) {\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,}
Апофема ( а ) с = 2 г 2 − а 2 {\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}} с = Д 2 − 4 а 2 {\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}
Угол ( θ ) с = 2 г грех ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)} с = Д 2 крд ⁡   θ {\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta }

Обратная функция также существует: [4]

θ = 2 арксинус ⁡ с 2 г {\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Гибсон, К. Г. (2003). "7.1 Серединные геометрические места". Элементарная евклидова геометрия: Введение . Cambridge University Press. С.  65–68 . ISBN 9780521834483.
  2. ^ ab Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights . Princeton University Press. стр.  25–27 . ISBN 978-0-691-15820-4.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Круговой сегмент". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  4. ^ Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" (исходный код FORTRAN-90). Гринбелт, Мэриленд, США: NASA Goddard Space Flight Center . Получено 2015-10-26 .
На Викискладе есть медиафайлы по теме Хорда (геометрия) .
  • История тригонометрии. Краткое содержание
  • Тригонометрические функции Архивировано 10.03.2017 на Wayback Machine , с упором на историю
  • Хорда (окружности) С интерактивной анимацией
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Аккорд_(геометрия)&oldid=1269789297"