Чилиагон

Правильный тысячеугольник
Правильный тысячеугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	1000
Символ Шлефли	{1000}, т{500}, тт{250}, тт{125}
Диаграммы Кокстера–Дынкина
Группа симметрии	Двугранный (D 1000 ), порядок 2×1000
Внутренний угол ( градусы )	179.64°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии хилиагон ( / ˈ k ɪ l i ə ɡ ɒ n / ) или 1000-гон — многоугольник с 1000 сторонами. Философы обычно ссылаются на хилиагоны , чтобы проиллюстрировать идеи о природе и работе мысли, смысла и ментального представления.

Правильный тысячеугольник обозначается символом Шлефли {1000} и может быть построен как усеченный 500-угольник, t{500}, или дважды усеченный 250-угольник, tt {250}, или трижды усеченный 125-угольник, ttt{125}.

Величина каждого внутреннего угла правильного тысячеугольника равна 179°38'24" или рад. Площадь правильного тысячеугольника со сторонами длиной a определяется по формуле${\displaystyle {\frac {499\pi }{500}}}$

${\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}}$

Этот результат отличается от площади описанной окружности менее чем на 4 части на миллион .

Поскольку 1000 = 2 ³ × 5 ³ , число сторон не является ни произведением различных простых чисел Ферма , ни степенью двойки. Таким образом, правильный хилиагион не является конструируемым многоугольником . Более того, его даже невозможно построить с помощью трисектрисы угла, поскольку число сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпонта , ни произведением степеней двойки и тройки. Поэтому построение хилиагона требует других методов, таких как квадратриса Гиппия , архимедова спираль или другие вспомогательные кривые. Например, угол в 9° можно сначала построить с помощью циркуля и линейки, который затем можно дважды разделить на пять равных частей с помощью вспомогательной кривой, чтобы получить требуемый внутренний угол в 21'36".

Рене Декарт использует тысячеугольник в качестве примера в своем Шестом размышлении , чтобы продемонстрировать разницу между чистым мышлением и воображением. Он говорит, что когда человек думает о тысячеугольнике, он «не представляет себе тысячу сторон и не видит их так, как если бы они присутствовали» перед ним – как он делает это, когда человек представляет себе треугольник, например. Воображение конструирует «спутанное представление», которое ничем не отличается от того, которое оно конструирует о тысячеугольнике (многоугольнике с десятью тысячами сторон). Однако он ясно понимает, что такое тысячеугольник, так же как он понимает, что такое треугольник, и он способен отличить его от тысячеугольника. Следовательно, интеллект не зависит от воображения, утверждает Декарт, поскольку он способен представлять ясные и отчетливые идеи, когда воображение неспособно на это. ^[1] Философ Пьер Гассенди , современник Декарта, критиковал эту интерпретацию, полагая, что, хотя Декарт мог представить себе тысячеугольник, он не мог его понять: можно «понять, что слово «тысячеугольник» обозначает фигуру с тысячью углов, [но] это всего лишь значение термина, и из этого не следует, что вы понимаете тысячу углов фигуры лучше, чем вы их себе представляете». ^[2]

Пример тысячеугольника также упоминается другими философами. Дэвид Юм указывает, что «невозможно для глаза определить углы тысячеугольника, равные 1,996 прямым углам, или сделать какое-либо предположение, приближающееся к этой пропорции». ^[3] Готфрид Лейбниц комментирует использование тысячеугольника Джоном Локком , отмечая, что можно иметь представление о многоугольнике, не имея его изображения, и, таким образом, отличая идеи от изображений. ^[4] Иммануил Кант вместо этого ссылается на эннеаконтагексагон (96-угольник), но отвечает на тот же вопрос, поднятый Декартом. ^[5]

Анри Пуанкаре использует тысячеугольник в качестве доказательства того, что «интуиция не обязательно основана на свидетельствах чувств», поскольку «мы не можем представить себе тысячеугольник, и тем не менее мы рассуждаем интуитивно о многоугольниках вообще, которые включают тысячеугольник как частный случай». ^[6]

Вдохновленные примером Декарта с тысячеугольником, Родерик Чизхолм и другие философы 20-го века использовали похожие примеры, чтобы доказывать схожие моменты. « Пестрая курица » Чизхолма, которой не нужно иметь определенное количество пятнышек, чтобы ее можно было успешно представить, является, пожалуй, самой известной из них. ^[7]

Правильный хилиагон имеет двугранную симметрию Dih ₁₀₀₀ порядка 2000, представленную 1000 линиями отражения. Dih ₁₀₀₀ имеет 15 двугранных подгрупп: Dih ₅₀₀ , Dih ₂₅₀ , Dih ₁₂₅ , Dih 200 , Dih ₁₀₀ , Dih _{50 , Dih 25} , Dih ₄₀ , Dih ₂₀ , Dih ₁₀ , Dih 5 _, Dih ₈ , Dih _{4 ,} Dih ₂ и Дих ₁ . Он также имеет еще 16 циклических симметрий в качестве подгрупп: Z ₁₀₀₀ , Z ₅₀₀ , Z ₂₅₀ , Z ₁₂₅ , Z ₂₀₀ , Z ₁₀₀ , Z ₅₀ , Z ₂₅ , Z ₄₀ , Z ₂₀ , Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , где Z _n представляет собой вращательную симметрию π/ n радиан.

Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. ^[8] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через ребра, и g для вращательной симметрии. a1 обозначает отсутствие симметрии.

Эти более низкие симметрии допускают степени свободы при определении нерегулярных хилиагонов. Только подгруппа g1000 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Хилиаграмма — это 1000-сторонний звездчатый многоугольник . Существует 199 правильных форм ^[a], заданных символами Шлефли вида {1000/ n }, где n — целое число от 2 до 500, взаимно простое с 1000. В остальных случаях также существует 300 правильных звездчатых фигур .

Например, правильный звездный многоугольник {1000/499} состоит из 1000 почти радиальных ребер. Каждая звездная вершина имеет внутренний угол 0,36 градуса. ^[b]

{1000/499}

Центральная зона с муаровыми узорами

• Мириагон
• Мегагон
• Философия разума
• Философия языка

• тысячеугольник