Теорема Ченга–Маркса

Указывает, когда восстановление сигнала по теореме о выборке может стать некорректным

В теории информации теорема Чунга–Маркса [ ^1], названная в честь К. Ф. Чунга и Роберта Дж. Маркса II , определяет условия ^[2] , при которых восстановление сигнала с помощью теоремы выборки может стать некорректным . Она предлагает условия, при которых «ошибка реконструкции с неограниченной дисперсией [возникает], когда к выборкам добавляется шум с ограниченной дисперсией». ^[3]

Фон

В теореме выборки неопределенность интерполяции, измеренная дисперсией шума, такая же, как неопределенность выборочных данных, когда шум не имеет определенного значения ^[4]. В своей классической статье 1948 года, посвященной основам теории информации , Клод Шеннон предложил следующее обобщение теоремы выборки: ^[5]

Числа 2 TW , используемые для задания функции, не обязательно должны быть равноотстоящими выборками, использованными выше. Например, выборки могут быть неравномерно разнесены, хотя, если есть значительная группировка, выборки должны быть известны очень точно, чтобы дать хорошую реконструкцию функции. Процесс реконструкции также более сложен при неравномерном разнесении. Можно далее показать, что значение функции и ее производная в каждой второй точке выборки достаточны. Значение и первая и вторая производные в каждой третьей точке выборки дают еще другой набор параметров, которые однозначно определяют функцию. Вообще говоря, любой набор из 2 независимых чисел TW , связанных с функцией, может быть использован для ее описания.

Хотя это верно при отсутствии шума, многие из расширений, предложенных Шенноном, становятся некорректными . Произвольно малое количество шума в данных делает восстановление нестабильным. Такие расширения выборки бесполезны на практике, поскольку шум выборки, такой как шум квантования , исключает стабильную интерполяцию и, следовательно, любое практическое использование.

Пример

Предложение Шеннона об одновременной выборке сигнала и его производной с частотой, равной половине частоты Найквиста, приводит к хорошо ведущей себя интерполяции. ^[6] Теорема Чунга-Маркса показывает, что противоречащее интуиции чередование выборок сигнала и производной делает задачу восстановления некорректной. ^[1]^[2]

Теорема также показывает, что чувствительность увеличивается с ростом порядка производной. ^[7]

Теорема

В общем случае теорема Ченга–Маркса показывает, что теорема выборки становится некорректной, когда площадь ( интеграл ) квадрата величины интерполяционной функции по всему времени не является конечной. ^[1]^[2] «Хотя обобщенная концепция выборки относительно проста, реконструкция не всегда осуществима из-за потенциальных нестабильностей». ^[8]

Ссылки

^ abc Brown, JL; Cabrera, SD (май 1991). "О корректности обобщенного разложения выборок Папулиса". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 38 (5): 554– 6. doi :10.1109/31.76494.
^ abc Cheung, KF; Marks II, RJ (1985). «Некорректные теоремы выборки». IEEE Transactions on Circuits and Systems . 32 (5): 481– 4. doi :10.1109/TCS.1985.1085735.
^ Seidner, D. (2000). «Расширение векторной выборки». Труды IEEE по обработке сигналов . 48 (5): 1401– 16. Bibcode : 2000ITSP...48.1401S. doi : 10.1109/78.839986.
^ Брейсвелл, Р. Н. (2000). Преобразование Фурье и его применение (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-116043-8.
^ Шеннон, Клод Э. (январь 1949). «Связь в присутствии шума» (PDF) . Proc. Institute of Radio Engineers . 37 (1): 10– 21. doi :10.1109/JRPROC.1949.232969. S2CID 52873253.Также doi :10.1109/JPROC.1998.65949
^ Папулис, Афанасиос (1977). Анализ сигналов . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-048460-3. OCLC 489738322.
^ Unser, M.; Zerubia, J. (1997). «Обобщенная выборка: анализ стабильности и производительности». IEEE Transactions on Signal Processing . 45 (12): 2941– 50. Bibcode : 1997ITSP...45.2941U. doi : 10.1109/78.650255.
^ Ансер, М. (апрель 2000 г.). «Выборка – 50 лет после Шеннона» (PDF) . Труды IEEE . 88 (4): 569– 587. doi :10.1109/5.843002. S2CID 11657280.

[BC-1] Brown, JL; Cabrera, SD (май 1991). "О корректности обобщенного разложения выборок Папулиса". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 38 (5): 554– 6. doi :10.1109/31.76494.

[CMT-2] Cheung, KF; Marks II, RJ (1985). «Некорректные теоремы выборки». IEEE Transactions on Circuits and Systems . 32 (5): 481– 4. doi :10.1109/TCS.1985.1085735.

[3] Seidner, D. (2000). «Расширение векторной выборки». Труды IEEE по обработке сигналов . 48 (5): 1401– 16. Bibcode : 2000ITSP...48.1401S. doi : 10.1109/78.839986.

[4] Брейсвелл, Р. Н. (2000). Преобразование Фурье и его применение (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-116043-8.

[CES-5] Шеннон, Клод Э. (январь 1949). «Связь в присутствии шума» (PDF) . Proc. Institute of Radio Engineers . 37 (1): 10– 21. doi :10.1109/JRPROC.1949.232969. S2CID 52873253.Также doi :10.1109/JPROC.1998.65949

[6] Папулис, Афанасиос (1977). Анализ сигналов . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-048460-3. OCLC 489738322.

[7] Unser, M.; Zerubia, J. (1997). «Обобщенная выборка: анализ стабильности и производительности». IEEE Transactions on Signal Processing . 45 (12): 2941– 50. Bibcode : 1997ITSP...45.2941U. doi : 10.1109/78.650255.

[8] Ансер, М. (апрель 2000 г.). «Выборка – 50 лет после Шеннона» (PDF) . Труды IEEE . 88 (4): 569– 587. doi :10.1109/5.843002. S2CID 11657280.