Центр (теория категорий)

Вариант понятия центра моноида, группы или кольца в категории

В теории категорий , разделе математики , центр (или центр Дринфельда , по имени советско-американского математика Владимира Дринфельда ) — это вариант понятия центра моноида, группы или кольца категории.

Определение

Центр моноидальной категории , обозначаемый , — это категория, объектами которой являются пары (A,u), состоящие из объекта A и изоморфизма , который естественным образом удовлетворяет С = ( С , , я ) {\displaystyle {\mathcal {C}}=({\mathcal {C}},\otimes ,I)} З ( С ) {\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} ты Х : А Х Х А {\displaystyle u_{X}:A\otimes X\rightarrow X\otimes A} Х {\displaystyle X}

ты Х И = ( 1 ты И ) ( ты Х 1 ) {\ displaystyle u_ {X \ otimes Y} = (1 \ otimes u_ {Y}) (u_ {X} \ otimes 1)}

и

ты я = 1 А {\displaystyle u_{I}=1_{A}} (на самом деле это следствие первой аксиомы). [1]

Стрелка из (A,u) в (B,v) в состоит из стрелки в такой, что З ( С ) {\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}} ф : А Б {\displaystyle f:A\rightarrow B} С {\displaystyle {\mathcal {C}}}

в Х ( ф 1 Х ) = ( 1 Х ф ) ты Х {\displaystyle v_{X}(f\otimes 1_{X})=(1_{X}\otimes f)u_{X}} .

Это определение центра появляется в Joyal & Street (1991). Эквивалентно, центр может быть определен как

З ( С ) = Э н г С С о п ( С ) , {\displaystyle {\mathcal {Z}}({\mathcal {C}})=\mathrm {End} _ {{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({ \mathcal {C}}),}

т.е. эндофункторы C , которые совместимы с левым и правым действием C на себя, заданным тензорным произведением.

Плетение

Категория становится сплетенной моноидальной категорией с тензорным произведением на объектах, определяемым как З ( С ) {\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}

( А , ты ) ( Б , в ) = ( А Б , ж ) {\displaystyle (A,u)\otimes (B,v)=(A\otimes B,w)}

где , и очевидное плетение. ж Х = ( ты Х 1 ) ( 1 в Х ) {\displaystyle w_{X}=(u_{X}\otimes 1)(1\otimes v_{X})}

Более высокая категориальная версия

Категориальный центр особенно полезен в контексте высших категорий. Это иллюстрируется следующим примером: центр ( абелевой ) категории R -модулей для коммутативного кольца R снова равен . Центр моноидальной ∞-категории C может быть определен, аналогично вышеизложенному, как M o d R {\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}} M o d R {\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}

Z ( C ) := E n d C C o p ( C ) {\displaystyle Z({\mathcal {C}}):=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}})} .

Теперь, в отличие от вышесказанного, центр производной категории R -модулей (рассматриваемой как ∞-категория) задается производной категорией модулей над комплексом коцепей, кодирующим когомологии Хохшильда , комплексом, членом степени 0 которого является R (как в абелевой ситуации выше), но включает в себя более высокие члены, такие как ( производный Hom). [2] H o m ( R , R ) {\displaystyle Hom(R,R)}

Понятие центра в этой общности разработано Лурье (2017, §5.3.1). Расширяя вышеупомянутое сплетение на центр обычной моноидальной категории, центр моноидальной ∞-категории становится -моноидальной категорией . В более общем смысле, центр -моноидальной категории является объектом алгебры в -моноидальных категориях и, следовательно, по аддитивности Данна, -моноидальной категорией. E 2 {\displaystyle E_{2}} E k {\displaystyle E_{k}} E k {\displaystyle E_{k}} E k + 1 {\displaystyle E_{k+1}}

Примеры

Хинич (2007) показал, что центр Дринфельда категории пучков на орбифолде X является категорией пучков на орбифолде инерции X . Для X , являющегося классифицирующим пространством конечной группы G , орбифолд инерции является стековым фактором G / G , где G действует на себя сопряжением. Для этого особого случая результат Хинича специализируется на утверждении, что центр категории G -представлений (относительно некоторого основного поля k ) эквивалентен категории, состоящей из G -градуированных k -векторных пространств, т.е. объектов вида

g G V g {\displaystyle \bigoplus _{g\in G}V_{g}}

для некоторых k -векторных пространств, вместе с G -эквивариантными морфизмами, где G действует на себя посредством сопряжения.

В том же духе Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010) показали , что центр Дринфельда производной категории квазикогерентных пучков на совершенном стеке X является производной категорией пучков на стеке петель X.

Центры моноидных объектов

Центр моноида и центр Дринфельда моноидальной категории являются примерами следующего более общего понятия. Для заданной моноидальной категории C и моноидного объекта A в C центр A определяется как

Z ( A ) = E n d A A o p ( A ) . {\displaystyle Z(A)=End_{A\otimes A^{op}}(A).}

Для C, являющегося категорией множеств (с обычным декартовым произведением), моноидный объект — это просто моноид, а Z ( A ) — центр моноида. Аналогично, если C — это категория абелевых групп, моноидные объекты — это кольца, и вышеприведенное восстанавливает центр кольца . Наконец, если C — это категория категорий , с произведением в качестве моноидальной операции, моноидные объекты в C являются моноидными категориями, и вышеприведенное восстанавливает центр Дринфельда.

Категориальный след

Категориальный след моноидальной категории (или моноидальной ∞-категории) определяется как

T r ( C ) := C C C o p C . {\displaystyle Tr(C):=C\otimes _{C\otimes C^{op}}C.}

Эта концепция широко применяется, например, в работе Чжу (2018).

Ссылки

  1. ^ Маджид 1991.
  2. ^ Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010, Примечание 1.5)
  • Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966 , arXiv : 0805.0157 , doi :10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR  2669705, S2CID  2202294
  • Хинич, Владимир (2007), "Drinfeld double for orbifolds", Труды Израильской математической конференции. Квантовые группы. Труды конференции памяти Иосифа Донина, Хайфа, Израиль, 5-12 июля 2004 г. , AMS, стр.  251–265 , arXiv : math/0511476 , ISBN 978-0-8218-3713-9, ЗБЛ  1142.18004
  • Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Тортильные операторы Янга-Бакстера в тензорных категориях», Журнал чистой и прикладной алгебры , 71 (1): 43–51 , doi : 10.1016/0022-4049(91)90039-5 , MR  1107651.
  • Лурье, Якоб (2017), Высшая алгебра
  • Маджид, Шан (1991). «Представления, дуалы и квантовые двойники моноидальных категорий». Труды Зимней школы по геометрии и физике (Srní, 1990) . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Приложение . № 26. стр.  197–206 . hdl :10338.dmlcz/701494. MR  1151906.
  • Чжу, Синьвэнь (2018). «Геометрический Сатаке, категориальные следы и арифметика многообразий Шимуры». Current Developments in Mathematics . 2016 : 145–206 . arXiv : 1810.07375 . doi : 10.4310/CDM.2016.v2016.n1.a4. ISBN 9781571463586. MR  3837875. OCLC  1038481072. S2CID  119589446.
  • Центр Дринфельда в n Lab
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Center_(category_theory)&oldid=1141193369"