В теории категорий , разделе математики , центр (или центр Дринфельда , по имени советско-американского математика Владимира Дринфельда ) — это вариант понятия центра моноида, группы или кольца категории.
Центр моноидальной категории , обозначаемый , — это категория, объектами которой являются пары (A,u), состоящие из объекта A и изоморфизма , который естественным образом удовлетворяет
и
Стрелка из (A,u) в (B,v) в состоит из стрелки в такой, что
Это определение центра появляется в Joyal & Street (1991). Эквивалентно, центр может быть определен как
т.е. эндофункторы C , которые совместимы с левым и правым действием C на себя, заданным тензорным произведением.
Категория становится сплетенной моноидальной категорией с тензорным произведением на объектах, определяемым как
где , и очевидное плетение.
Категориальный центр особенно полезен в контексте высших категорий. Это иллюстрируется следующим примером: центр ( абелевой ) категории R -модулей для коммутативного кольца R снова равен . Центр моноидальной ∞-категории C может быть определен, аналогично вышеизложенному, как
Теперь, в отличие от вышесказанного, центр производной категории R -модулей (рассматриваемой как ∞-категория) задается производной категорией модулей над комплексом коцепей, кодирующим когомологии Хохшильда , комплексом, членом степени 0 которого является R (как в абелевой ситуации выше), но включает в себя более высокие члены, такие как ( производный Hom). [2]
Понятие центра в этой общности разработано Лурье (2017, §5.3.1). Расширяя вышеупомянутое сплетение на центр обычной моноидальной категории, центр моноидальной ∞-категории становится -моноидальной категорией . В более общем смысле, центр -моноидальной категории является объектом алгебры в -моноидальных категориях и, следовательно, по аддитивности Данна, -моноидальной категорией.
Хинич (2007) показал, что центр Дринфельда категории пучков на орбифолде X является категорией пучков на орбифолде инерции X . Для X , являющегося классифицирующим пространством конечной группы G , орбифолд инерции является стековым фактором G / G , где G действует на себя сопряжением. Для этого особого случая результат Хинича специализируется на утверждении, что центр категории G -представлений (относительно некоторого основного поля k ) эквивалентен категории, состоящей из G -градуированных k -векторных пространств, т.е. объектов вида
для некоторых k -векторных пространств, вместе с G -эквивариантными морфизмами, где G действует на себя посредством сопряжения.
В том же духе Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010) показали , что центр Дринфельда производной категории квазикогерентных пучков на совершенном стеке X является производной категорией пучков на стеке петель X.
Центр моноида и центр Дринфельда моноидальной категории являются примерами следующего более общего понятия. Для заданной моноидальной категории C и моноидного объекта A в C центр A определяется как
Для C, являющегося категорией множеств (с обычным декартовым произведением), моноидный объект — это просто моноид, а Z ( A ) — центр моноида. Аналогично, если C — это категория абелевых групп, моноидные объекты — это кольца, и вышеприведенное восстанавливает центр кольца . Наконец, если C — это категория категорий , с произведением в качестве моноидальной операции, моноидные объекты в C являются моноидными категориями, и вышеприведенное восстанавливает центр Дринфельда.
Категориальный след моноидальной категории (или моноидальной ∞-категории) определяется как
Эта концепция широко применяется, например, в работе Чжу (2018).