Чеховский комплекс

В алгебраической топологии и топологическом анализе данных комплекс Чеха — это абстрактный симплициальный комплекс, построенный из облака точек в любом метрическом пространстве , который предназначен для сбора топологической информации об облаке точек или распределении, из которого оно взято. Для заданного конечного облака точек X и ε  > 0 мы строим комплекс Чеха следующим образом: берем элементы X в качестве множества вершин . Затем для каждого пусть , если множество ε -шаров с центрами в точках σ имеет непустое пересечение . Другими словами, комплекс Чеха — это нерв множества ε -шаров с центрами в точках X . По лемме о нерве комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров, также известному как фильтрация смещения . ^[1]${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon}(X)}$${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon}(X)}$${\displaystyle \сигма \подмножество X}$${\displaystyle \sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$

Комплекс Чеха является подкомплексом комплекса Виеториса–Рипса . Хотя комплекс Чеха более затратен в вычислительном отношении, чем комплекс Виеториса–Рипса, поскольку мы должны проверять пересечения шаров в комплексе более высокого порядка, теорема о нервах гарантирует, что комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров в комплексе. Комплекс Виеториса–Рипса может и не быть таковым. ^[1]

• Комплекс Виеторис–Рипс
• Топологический анализ данных
• Чеховские когомологии
• Вычислительная геометрия
• Абстрактный симплициальный комплекс
• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология