Кассини и каталонские идентичности

Тождество Кассини (иногда называемое тождеством Симсона ) и тождество Каталана являются математическими тождествами для чисел Фибоначчи . Тождество Кассини , частный случай тождества Каталана , утверждает, что для n- го числа Фибоначчи,

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}$

Примечание здесь принимается равным 0, а принимается равным 1.${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle F_{1}}$

Идентичность каталонца обобщает это:

${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.}$

Идентичность Вайды обобщает это:

${\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}$

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Доменико Кассини , тогдашним директором Парижской обсерватории, и независимо доказана Робертом Симсоном (1753). ^[1] Однако Иоганн Кеплер, по-видимому, знал эту идентичность уже в 1608 году. ^[2]

Личность Каталана названа в честь Эжена Каталана (1814–1894). Ее можно найти в одной из его личных исследовательских заметок под названием «Sur la série de Lamé» и датированной октябрем 1879 года. Однако личность не появлялась в печати до декабря 1886 года как часть его собрания сочинений (Catalan 1886). Это объясняет, почему некоторые указывают 1879 год, а другие 1886 год в качестве даты для личности Каталана (Tuenter 2022, стр. 314).

Венгерско-британский математик Стивен Вайда (1901–95) опубликовал книгу о числах Фибоначчи ( Числа Фибоначчи и Люка и Золотое сечение: Теория и приложения , 1989), в которой содержится тождество, носящее его имя. ^{[3] [4]} Однако тождество было опубликовано ранее в 1960 году Дастаном Эверманом как задача 1396 в The American Mathematical Monthly , ^[1] и в 1901 году Альберто Тагиури в Periodico di Matematica. ^[5]

Быстрое доказательство идентичности Кассини может быть дано (Knuth 1997, стр. 81), если распознать левую часть уравнения как определитель матрицы 2×2 чисел Фибоначчи. Результат получается почти немедленно, когда матрица оказывается n- й степенью матрицы с определителем −1:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}$

Рассмотрим утверждение индукции:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

Базовый вариант верен.${\displaystyle n=1}$

Предположим, что утверждение верно для . Тогда: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}$

поэтому утверждение верно для всех целых чисел .${\displaystyle n>0}$

Используем формулу Бине , то есть , где и .${\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Следовательно, и .${\displaystyle \phi +\psi =1}$${\displaystyle \phi \psi =-1}$

Так,

${\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}$

${\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

С использованием ,${\displaystyle \phi \psi =-1}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

и снова как ,${\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}$

Число Лукаса определяется как , поэтому${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}$

Потому что${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

Отмена 's дает результат.${\displaystyle 5}$

• Каталонец, Эжен-Шарль (декабрь 1886 г.). «CLXXXIX. — Sur la série de Lamé». Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège, Deuxième Série . 13 : 319–321 .
• Кнут, Дональд Эрвин (1997), Искусство программирования, том 1: Фундаментальные алгоритмы , Искусство программирования , т. 1 (3-е изд.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
• Симсон, Р. (1753). «Объяснение неясного отрывка в комментарии Альбера Жирара к работам Симона Стевина». Философские труды Лондонского королевского общества . 48 : 368–376 . doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
• Tuenter, Hans JH (ноябрь 2022 г.). «Тождества суммирования Фибоначчи, вытекающие из тождества Каталана». The Fibonacci Quarterly . 60 (4): 312– 319. doi :10.1080/00150517.2022.12427460. MR  4539699. Zbl  1512.11025.
• Верман, М.; Зейлбергер, Д. (1986). "Биективное доказательство тождества Фибоначчи Кассини". Дискретная математика . 58 (1): 109. doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . MR  0820846.

• Доказательство личности Кассини
• Подтверждение личности каталонца
• Формула Кассини для чисел Фибоначчи
• Формулы Фибоначчи и Фи