Каскадный интегратор–гребенчатый фильтр

В цифровой обработке сигналов каскадный интегратор-гребенчатый фильтр (CIC) представляет собой вычислительно эффективный класс низкочастотных фильтров с конечной импульсной характеристикой (FIR) , который объединяет N пар интеграторов и гребенчатых фильтров (где N — порядок фильтра) для формирования прореживателя или интерполятора . В прореживающем CIC входной сигнал сначала подается через N каскадов интегратора, затем через понижающий сэмплер, а затем через N каскадов гребенки. Интерполирующий CIC (например, рисунок 1) имеет обратный порядок этой архитектуры, но с заменой понижающего сэмплера на нулевой наполнитель (повышающий сэмплер). ^{[1] [2]}

Фильтры CIC были изобретены Юджином Б. Хогенауэром в 1979 году ^[3] (опубликованы в 1981 году) и представляют собой класс FIR-фильтров, используемых в многоскоростной цифровой обработке сигналов .

В отличие от большинства КИХ-фильтров, в середине структуры имеется понижающий или повышающий дискретизатор, который преобразует высокую частоту дискретизации, используемую каскадами интегратора, в низкую частоту дискретизации, используемую каскадами гребенки. ^[1]${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$

При высокой частоте дискретизации передаточная функция CIC в z-области равна:${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle {\begin{align}H(z)&=\left[\sum _{k=0}^{RM-1}z^{-k}\right]^{N}\\&=\left({\frac {1-z^{-RM}}{1-z^{-1}}}\right)^{N}\end{align}}}$

где:

${\displaystyle R}$это коэффициент децимации или интерполяции,

${\displaystyle М}$количество образцов на этапе (обычно 1, но иногда 2), и

${\displaystyle N}$порядок: количество пар гребень-интегратор.

• Числитель получается путем умножения отрицательных каскадов прямой связи (каждый из которых представляет собой просто умножение на в z-области).${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-z^{-RM}}$
• Знаменатель получается в результате умножения ступеней интегратора (каждая из которых представляет собой просто умножение на в z-области).${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-z^{\text{-1}}}}}$

Фильтр интегратор-гребенка представляет собой эффективную реализацию простого фильтра скользящего среднего FIR 1 ^-го порядка , в котором деление на опущено. ^{[примечание 1]} Чтобы увидеть это, рассмотрим, как простой фильтр скользящего среднего может быть реализован рекурсивно путем добавления новейшего образца к предыдущему результату и вычитания самого старого образца :${\displaystyle РМ}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n-1]}$${\displaystyle x[n-RM]}$

${\displaystyle {\begin{align}y[n]&=\sum _{k=0}^{RM-1}x[nk]\\y[n]&=y[n-1]+\underbrace {x[n]-x[n-RM]} _{{\text{фильтр гребенки}}c[n]}.\end{align}}}$

Второе равенство соответствует гребенчатому фильтру ( )${\displaystyle c[n]=x[n]-x[n-RM]}$ , который интегрируется ( ).${\displaystyle y[n]=y[n-1]+c[n]}$

Структуры CIC более высокого порядка получаются путем каскадирования идентичных простых фильтров скользящего среднего, а затем перестановки секций таким образом, чтобы сначала поставить все интеграторы (дециматор) или гребенки (интерполятор). Такая перестановка возможна, поскольку и гребенки, и интеграторы, и вся структура являются линейными системами, инвариантными во времени (LTI) .${\displaystyle N}$

В интерполирующем CIC его повышающий дискретизатор (который обычно предшествует интерполяционному фильтру) пропускается через гребенчатые секции с использованием идентификатора Noble, что уменьшает количество необходимых элементов задержки в . Аналогично, в прореживающем CIC его понижающий дискретизатор (который обычно следует за прореживающим фильтром) перемещается перед гребенчатыми секциями.${\displaystyle R}$

Фильтры CIC обладают рядом привлекательных особенностей:

• Линейная фазовая характеристика (т.е. постоянная групповая задержка ).
• Используйте только задержку, сложение и вычитание.
  • Никакого дорогостоящего умножения.
• Рост бита , из-за эквивалентности со скользящей средней. ^[4]${\displaystyle N\log _{2}(RM)}$
• Форма главного лепестка фильтра меняется очень мало при изменении коэффициента прореживания. ^[5]

В z-области каждый интегратор вносит один полюс в DC ( ) и один ноль в начале координат ( ). Каждая гребенка вносит полюса в начале координат и нули, которые равномерно распределены по единичной окружности z-области , но ее первый ноль в DC отменяется с полюсом каждого интегратора. Фильтры CIC N- ^го порядка имеют в N раз больше полюсов и нулей в тех же местах, что и фильтры 1 ^-го порядка.${\displaystyle z{=}1}$${\displaystyle z{=}0}$${\displaystyle РМ}$${\displaystyle РМ}$

Таким образом, частотная характеристика CIC 1- ^го порядка представляет собой грубый фильтр нижних частот . Обычно усиление нормализуется путем деления на так, чтобы DC имело пик единичного усиления. Основные лепестки спадают по мере достижения следующего нуля, и за ними следует серия последовательных лепестков, которые имеют все меньшие и меньшие пики, разделенные последующими нулями. Это в целом приближается к sinc -in-частоте .${\displaystyle (РМ)^{N}}$${\displaystyle R}$

Форма CIC N- ^го порядка соответствует умножению этой sinc-формы на себя N раз, что приводит к последовательно большему затуханию. Таким образом, CIC-фильтры N- ^го порядка называются sinc ^N -фильтрами. Первый боковой лепесток затухает примерно на 13N дБ.

Возможный диапазон ответов CIC-фильтра ограничен этой формой. Большее подавление полосы заграждения может быть достигнуто путем увеличения порядка, но это увеличивает затухание в полосе пропускания и требует увеличения разрядности для интегратора и гребенчатых секций. По этой причине многие реальные требования к фильтрации не могут быть удовлетворены одним только CIC-фильтром.

Фильтр FIR или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (IIR) короткой или средней длины может компенсировать падающий наклон формы фильтра CIC. ^[5] Несколько скоростей интерполяции и прореживания могут повторно использовать один и тот же набор коэффициентов компенсации FIR, поскольку форма главного лепестка CIC меняется очень мало при изменении коэффициента прореживания. ^{[5] Рисунок 11(b)}

• Фильтры CIC используются в основном в многоскоростной обработке. Между тем, фильтры FIR в целом используются в широком спектре приложений и могут использоваться в многоскоростной обработке совместно с интерполятором или дециматором.
• Фильтры CIC имеют низкочастотные характеристики, ^[1] в то время как фильтры FIR могут иметь низкочастотные , высокочастотные или полосовые частотные характеристики.
• Фильтры CIC используют только сложение и вычитание. ^[1] Фильтры FIR используют сложение и вычитание, но большинство фильтров FIR также требуют умножения.
• Фильтры CIC имеют определенный спад частоты , ^[1] в то время как фильтры нижних частот FIR могут иметь произвольно крутой спад частоты.
• Фильтры CIC, как правило, намного экономичнее обычных FIR-фильтров ^[1] , но здесь есть свои компромиссы.
  • В случаях, когда требуется лишь небольшая интерполяция или прореживание, КИХ-фильтры обычно имеют преимущество. Однако, когда скорости изменяются в 10 раз или более, достижение полезной полосы остановки сглаживания КИХ-фильтра требует множества КИХ-отводов.
  • При больших изменениях скорости CIC имеет значительное преимущество перед FIR-фильтром с точки зрения архитектурной и вычислительной эффективности . ^[1]
  • Кроме того, фильтры CIC обычно можно перенастроить на разные скорости, изменив лишь секцию прореживания/интерполяции, предполагая, что разрядность секций интеграторов и гребенчатых фильтров соответствует определенным математическим критериям, основанным на максимально возможном изменении скорости.
• Фильтр CIC использует только математику с фиксированной точкой, в то время как фильтры FIR могут использовать математику как с фиксированной , так и с плавающей точкой . ^[1]
  • Это необходимо, поскольку, как рекурсивно реализованный FIR-фильтр, CIC-фильтр полагается на точное погашение полюсов из секций интегратора нулями из секций гребенки. Хотя причины не совсем интуитивны, неотъемлемой характеристикой архитектуры CIC является то, что если в интеграторах происходят переполнения фиксированной длины бита , они исправляются в секциях гребенки. ^[1]

• Децимация
• Дельта-сигма-модуляция — метод АЦП, который может использовать CIC для прореживания

• Введение в фильтр CIC
• Понимание каскадных интеграторов-гребенчатых фильтров
• Интуитивный взгляд на скользящую среднюю и фильтры CIC
• Фильтры каскадной интегрирующей гребенки (CIC) – лестница DSP