Двойственность Картье

В математике двойственность Картье — аналог двойственности Понтрягина для коммутативных групповых схем. Она была введена Пьером Картье  (1962).

Для любой конечной плоской коммутативной групповой схемы G над S ее двойственной по Картье группой характеров является группа характеров, определяемая как функтор, который переводит любую S -схему T в абелеву группу гомоморфизмов групповых схем из замены базы в и любое отображение S -схем в каноническое отображение групп характеров. Этот функтор представим конечной плоской S -схемой, а двойственность Картье образует аддитивную инволютивную антиэквивалентность из категории конечных плоских коммутативных S -схем себе. Если G - постоянная коммутативная групповая схема, то ее двойственной по Картье группой является диагонализируемая группа D ( G ), и наоборот. Если S аффинна, то функтор двойственности задается двойственностью алгебр Хопфа функций.${\displaystyle G_{T}}$${\displaystyle \mathbf {G'} _{м,Т}}$

Конечная коммутативная групповая схема над полем соответствует конечномерной коммутативной кокоммутативной алгебре Хопфа . Двойственность Картье соответствует взятию двойственной алгебры Хопфа, замене умножения и коумножения.

Определение двойственности Картье полезно распространяется на гораздо более общие ситуации, когда результирующий функтор на схемах больше не представляется как групповая схема. Обычные случаи включают пучки fppf коммутативных групп над S и их комплексы. Эти более общие геометрические объекты могут быть полезны, когда требуется работать с категориями, имеющими хорошее предельное поведение. Существуют случаи промежуточной абстракции, такие как коммутативные алгебраические группы над полем, где двойственность Картье дает антиэквивалентность с коммутативными аффинными формальными группами , так что если G — аддитивная группа , то ее двойственная Картье — мультипликативная формальная группа , а если G — тор, то ее двойственная Картье является этальной и не имеет кручения. Для групп петель торов двойственность Картье определяет ручной символ в локальной геометрической теории полей классов . Жерар Ломон ввел преобразование Фурье на основе теории пучков для квазикогерентных модулей над 1-мотивами , которое специализируется на многих из этих эквивалентностей. ^[1]${\displaystyle \mathbf {G'} _{a}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {G} }}_{m}}$

• Двойственный Картье циклической группе порядка n — это корни n-й степени из единицы .${\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mu _{n}}$
• Над полем характеристики p групповая схема (ядро эндоморфизма аддитивной группы, индуцированное взятием p -х степеней) является своей собственной двойственной по Картье.${\displaystyle \альфа _{p}}$

• Картье, Пьер (1962), «Алгебрические и формальные группы», 1962 Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Брюссель, 1962) , Universitaire Librairie, Лувен, Париж: GauthierVillars, стр.  87–111 , MR  0148665
• Оорт, Франс (1966), Коммутативные групповые схемы , Lecture Notes in Mathematics, т. 15, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR  0213365