Теорема Картана–Адамара

В математике теорема Картана–Адамара — это утверждение в римановой геометрии, касающееся структуры полных римановых многообразий неположительной секционной кривизны . Теорема утверждает, что универсальное накрытие такого многообразия диффеоморфно евклидову пространству посредством экспоненциального отображения в любой точке. Впервые она была доказана Гансом Карлом Фридрихом фон Мангольдтом для поверхностей в 1881 году и независимо Жаком Адамаром в 1898 году. Эли Картан обобщил теорему на римановы многообразия в 1928 году (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). Теорема была дополнительно обобщена на широкий класс метрических пространств Михаилом Громовым в 1987 году; Подробные доказательства были опубликованы Баллманном (1990) для метрических пространств неположительной кривизны и Александером и Бишопом (1990) для общих локально выпуклых метрических пространств.

Теорема Картана–Адамара в обычной римановой геометрии утверждает, что универсальное накрывающее пространство связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно R ⁿ . Фактически, для полных многообразий неположительной кривизны экспоненциальное отображение , основанное на любой точке многообразия, является накрывающим отображением .

Теорема справедлива также для многообразий Гильберта в том смысле, что экспоненциальное отображение неположительно искривленного геодезически полного связного многообразия является накрывающим отображением (McAlpin 1965; Lang 1999, IX, §3). Полнота здесь понимается в том смысле, что экспоненциальное отображение определено на всем касательном пространстве точки.

В метрической геометрии теорема Картана–Адамара — это утверждение о том, что универсальное покрытие связного неположительно искривленного полного метрического пространства X является пространством Адамара . В частности, если X односвязно , то оно является геодезическим пространством в том смысле, что любые две точки соединены единственной минимизирующей геодезической и, следовательно, стягиваемой .

Метрическое пространство X называется неположительно искривленным, если каждая точка p имеет окрестность U , в которой любые две точки соединены геодезической , и для любой точки z в U и постоянной скорости геодезической γ в U выполняется

${\displaystyle d(z,\gamma (1/2))^{2}\leq {\frac {1}{2}}d(z,\gamma (0))^{2}+{\frac { 1}{2}}d(z,\gamma (1))^{2}-{\frac {1}{4}}d(\gamma (0),\gamma (1))^{2}. }$

Это неравенство можно с пользой рассматривать в терминах геодезического треугольника Δ =  z γ(0)γ(1). Левая часть — это квадрат расстояния от вершины z до середины противолежащей стороны. Правая часть представляет собой квадрат расстояния от вершины до середины противолежащей стороны в евклидовом треугольнике с теми же длинами сторон, что и Δ. Это условие, называемое условием CAT(0), является абстрактной формой теоремы Топоногова о сравнении треугольников .

Предположение о неположительной кривизне может быть ослаблено (Alexander & Bishop 1990), хотя и с соответствующим более слабым выводом. Назовем метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух минимизирующих геодезических постоянной скорости a ( t ) и b ( t ) функция

${\displaystyle t\mapsto d(a(t),b(t))}$

является выпуклой функцией t . Метрическое пространство тогда локально выпукло , если каждая точка имеет окрестность, которая выпукла в этом смысле. Теорема Картана–Адамара для локально выпуклых пространств гласит:

• Если X — локально выпуклое полное связное метрическое пространство, то универсальное покрытие X является выпуклым геодезическим пространством относительно индуцированной метрики длины d .

В частности, универсальное покрытие такого пространства стягиваемо. Выпуклость функции расстояния вдоль пары геодезических является известным следствием неположительной кривизны метрического пространства, но она не эквивалентна (Баллманн, 1990).

Теорема Картана–Адамара дает пример локально-глобального соответствия в римановой и метрической геометрии: а именно, локальное условие (неположительная кривизна) и глобальное условие (односвязность) вместе подразумевают сильное глобальное свойство (стягиваемость); или, в римановом случае, диффеоморфизм с R ⁿ .

Метрическая форма теоремы показывает, что неположительно искривленный многогранный клеточный комплекс является асферическим . Этот факт имеет решающее значение для современной геометрической теории групп .

• Глоссарий римановой и метрической геометрии
• Многообразие Картана–Адамара
• Гипотеза Картана–Адамара