Теорема Каристи о неподвижной точке

В математике теорема Каристи о неподвижной точке (также известная как теорема Каристи–Кирка о неподвижной точке ) обобщает теорему Банаха о неподвижной точке для отображений полного метрического пространства в себя. Теорема Каристи о неподвижной точке модифицирует вариационный принцип Экланда (1974, 1979). ^{[1] [2]} Вывод теоремы Каристи эквивалентен метрической полноте, как доказал Уэстон (1977). ^[3] Оригинальный результат принадлежит математикам Джеймсу Каристи и Уильяму Артуру Кирку . ^[4]${\displaystyle \varepsilon}$

Теорему Каристи о неподвижной точке можно применять для вывода других классических результатов о неподвижной точке, а также для доказательства существования ограниченных решений функционального уравнения . ^[5]

Пусть будет полным метрическим пространством. Пусть и будет полунепрерывной снизу функцией из в неотрицательные действительные числа . Предположим, что для всех точек в${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle d(x,T(x))\leq f(x)-f(T(x)).}$$

Тогда имеет неподвижную точку в , то есть точку такую, что Доказательство этого результата использует лемму Цорна , чтобы гарантировать существование минимального элемента , который оказывается искомой неподвижной точкой. ^[6]${\displaystyle Т}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle T(x_{0})=x_{0}.}$