Кальво (ступенчатые) контракты

Контракт Кальво — это название, данное в макроэкономике модели ценообразования , согласно которой, когда фирма устанавливает номинальную цену, существует постоянная вероятность того, что фирма сможет сбросить свою цену, которая не зависит от времени с момента последней переустановки цены. Модель была впервые предложена Гильермо Кальво в его статье 1983 года «Staggered Prices in a Utility-Maximizing Framework» (Постепенные цены в рамках максимизации полезности). ^[1] Оригинальная статья была написана в непрерывной математической структуре, но в настоящее время в основном используется в ее дискретной версии. Модель Кальво является наиболее распространенным способом моделирования номинальной жесткости в новых кейнсианских DSGE макроэкономических моделях .

Мы можем определить вероятность того, что фирма может сбросить свою цену в любой период как h ( коэффициент риска ), или, что эквивалентно, вероятность ( 1-h ) того, что цена останется неизменной в этот период (коэффициент выживания). Вероятность h иногда называют «вероятностью Кальво» в этом контексте. В модели Кальво решающей особенностью является то, что устанавливающий цену не знает, как долго номинальная цена будет оставаться на месте. Вероятность того, что текущая цена продержится ровно i периодов, равна

${\displaystyle \mathrm {Pr} [i]=(1-h)^{i-1}h}$

Вероятность выживания i последующих периодов, таким образом, следует геометрическому распределению , при этом ожидаемая продолжительность номинальной цены с момента ее первого установления составляет . Например, если вероятность Кальво h равна 0,25 за период, ожидаемая продолжительность составляет 4 периода. Поскольку вероятность Кальво постоянна и не зависит от того, сколько времени прошло с момента установления цены, вероятность того, что она выживет i дополнительных периодов, задается точно таким же геометрическим распределением для всех . Таким образом, если h = 0,25, то какой бы старой ни была цена, ожидается, что она продержится еще 4 периода.${\displaystyle E[\mathrm {Pr} [i]]=h^{-1}}$${\displaystyle я = 1,\dotsc,\infty}$

В модели Кальво реакция цен на шок растянута во времени. Предположим, что шок поражает экономику в момент времени t . Доля h цен может отреагировать немедленно, а остальные (1-h) остаются фиксированными. В следующем периоде все еще будут те, кто остался фиксированным и не отреагировал на шок. i периодов после шока это которые сократились до . По истечении любого конечного времени все еще будет некоторая доля цен, которые не отреагировали и остались фиксированными. Это контрастирует с моделью Тейлора , где есть фиксированная продолжительность контрактов - например, 4 периода. После 4 периодов фирмы сбросят свои цены.${\displaystyle (1-ч)^{2}}$${\displaystyle (1-h)^{i}}$

Модель ценообразования Кальво сыграла ключевую роль в выводе новокейнсианской кривой Филлипса Джоном Робертсом в 1995 году ^[2] и с тех пор используется в новокейнсианских моделях DSGE. ^{[3] [4]}

${\displaystyle \pi _{t}=\beta E_{t}[\pi _{t+1}]+\kappa y_{t}\qquad {\mbox{Новая кейнсианская кривая Филлипса.}}}$

где

${\displaystyle \kappa = {\frac {h[1-(1-h)\beta]}{1-h}}\gamma }$.

Текущие ожидания инфляции следующего периода включены как . Коэффициент отражает чувствительность текущей инфляции к текущему выпуску. Новая кейнсианская кривая Филлипса отражает тот факт, что ценообразование ориентировано на будущее, и на текущую инфляцию влияет не только уровень текущего спроса (представленного выпуском), но и ожидаемая будущая инфляция.${\displaystyle \beta E_{t}[\pi _{t+1}]}$${\displaystyle \каппа}$

Существуют различные способы измерения номинальной жесткости в экономике. Будет много фирм (или ценоустанавливающих), некоторые из них склонны часто менять цену, другие — реже. Даже фирма, которая редко меняет свою «нормальную» цену, может сделать специальное предложение или распродажу на короткий период, прежде чем вернуться к своей нормальной цене.

Было предложено два возможных способа измерения номинальной жесткости ^[5] :

(i) Средний возраст контрактов . Можно взять все фирмы и спросить, как долго цены устанавливались на текущем уровне. При установлении цен Кальво, предполагая, что все фирмы имеют одинаковую ставку риска h , будет доля h, которая только что была сброшена, доля h.(1-h) , которая сбрасывалась в предыдущем периоде и остается фиксированной в этом периоде, и в целом доля цен, установленных i периодов назад, которые сохранились сегодня, определяется как , где:${\displaystyle \альфа ^{я}}$

${\displaystyle \альфа ^{i}=(1-h)^{i-1}h}$

Средний возраст контрактов тогда составляет${\displaystyle А^{*}}$

${\displaystyle A^{*}=\sum _{i=0}^{\infty }ih(1-h)^{i-1}={\frac {1}{h}}}$

Средний возраст контрактов является одним из показателей номинальной жесткости. Однако он страдает от смещения прерывания: в любой момент времени мы будем наблюдать только то, как долго цена находится на своем текущем уровне. Мы могли бы спросить, какова будет ее завершенная длина при следующем изменении цены. Это второй показатель.

(ii) Средняя завершенная продолжительность контрактов . Это похоже на средний возраст в том, что он смотрит на текущие цены, установленные фирмами. Однако вместо того, чтобы спрашивать, сколько времени прошло с момента последнего установления цены (возраст контракта), он спрашивает, как долго цена будет сохраняться, когда цена изменится в следующий раз. Очевидно, что для одной фирмы это случайно. Однако для всех фирм вступает в силу Закон больших чисел , и мы можем вычислить точное распределение завершенных продолжительностей контрактов. Можно показать, что ^[6] средняя завершенная продолжительность контрактов определяется как T :

${\displaystyle T={\frac {2}{h}}-1=2A^{*}-1}$

То есть, завершенная продолжительность контрактов в два раза больше среднего возраста минус 1. Таким образом, например, если h = 0,25, 25% цен изменяются каждый период. В любой момент времени средний возраст цен будет составлять 4 периода. Однако соответствующая средняя завершенная продолжительность контрактов составляет 7 периодов.

Одной из основных проблем контракта Calvo как модели ценообразования является то, что динамика инфляции, которую он приводит, не соответствует данным. Инфляция лучше описывается гибридной новой кейнсовской кривой Филлипса, которая включает в себя запаздывающую инфляцию:

${\displaystyle \pi _{t}=(1-\psi )\beta E_{t}[\pi _{t+1}]+\psi \pi _{t-1}+\kappa y_{t}\qquad {\mbox{Гибридная новая кейнсианская кривая Филлипса.}}}$

Это привело к развитию исходной модели Кальво в ряде направлений:

(a) Индексация . При индексации цены автоматически обновляются в ответ на запаздывающую инфляцию (по крайней мере, в некоторой степени), что приводит к гибридной новой кейнсианской кривой Филлипса. Вероятность Кальво относится к фирме, которая может выбирать цену, которую она устанавливает в этот период (что происходит с вероятностью ), или к росту цены за счет индексации (что происходит с вероятностью . Модель Кальво с индексацией принята многими новыми кейнсианскими исследователями ^{[7] [8] [9]}${\displaystyle ч}$${\displaystyle (1-ч)}$

(b) Функция риска, зависящая от длительности . Ключевой особенностью модели Кальво является то, что уровень риска постоянен: вероятность изменения цены не зависит от того, насколько она старая. В 1999 году Вольман предложил обобщить модель, чтобы допустить возможность изменения уровня риска в зависимости от длительности. ^[10] Основная идея заключается в том, что более старая цена может с большей или меньшей вероятностью измениться, чем более новая цена, что отражается в функции риска h(i) , которая позволяет уровню риска быть функцией возраста i. Эта обобщенная модель Кальво с уровнем риска, зависящим от длительности, была разработана несколькими авторами. ^{[11] [12]}${\displaystyle h(i)}$

• Контракт Тейлора (экономика)

• Дэвид Ромер , Продвинутая макроэкономика , McGraw-Hill Higher Education; 4-е издание (1 мая 2011 г.) ISBN 978-0073511375 . 
• Карл Уолш Денежная теория и политика (3-е издание), MIT Press 2010, ISBN 978-0262013772 . 
• Майкл Вудфорд , Денежный процент и цены , Princeton University Press, 2003, ISBN 9781400830169 .