Лемма Сеа

Лемма Сеа — лемма в математике . Введенная Жаном Сеа в его докторской диссертации, она является важным инструментом для доказательства оценок погрешности метода конечных элементов , применяемого к эллиптическим уравнениям в частных производных .

Пусть будет действительным гильбертовым пространством с нормой Пусть будет билинейной формой со свойствами${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle |a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|}$для некоторой константы и всего в ( непрерывность )${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}}$для некоторой константы и всех ( коэрцитивность или -эллиптичность ).${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Пусть — ограниченный линейный оператор . Рассмотрим задачу нахождения элемента в таком, что${\displaystyle L:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V.}$

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве так , что удовлетворяет${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle V_{h}}$

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}$для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}.}$

По теореме Лакса–Милгрэма каждая из этих задач имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|u-v\|}$ для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}.}$

То есть, решение подпространства является «лучшим» приближением в с точностью до константы${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{h},}$ ${\displaystyle \gamma /\alpha .}$

Доказательство простое.

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \gamma \|u-u_{h}\|\|u-v\|}$ для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}.}$

Мы использовали -ортогональность и${\displaystyle a}$${\displaystyle u-u_{h}}$${\displaystyle v-u_{h}\in V_{h}}$

${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}}$

что следует непосредственно из${\displaystyle V_{h}\subset V}$

${\displaystyle a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)}$для всех в .${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}}$

Примечание: Лемма Сеа справедлива и для комплексных гильбертовых пространств, тогда вместо билинейной формы используется полуторалинейная. Тогда предположение о коэрцитивности становится для всех в (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг ).${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a(v,v)}$

Во многих приложениях билинейная форма симметрична, поэтому${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a(v,w)=a(w,v)}$для всех в${\displaystyle v,w}$${\displaystyle V.}$

Это, вместе с указанными выше свойствами этой формы, подразумевает, что является внутренним произведением на Результирующая норма${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V.}$

${\displaystyle \|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}}$

называется энергетической нормой , поскольку она соответствует физической энергии во многих задачах. Эта норма эквивалентна исходной норме${\displaystyle \|\cdot \|.}$

Используя -ортогональность и и неравенство Коши–Шварца${\displaystyle a}$${\displaystyle u-u_{h}}$${\displaystyle V_{h}}$

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}}$для всех в .${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}}$

Следовательно, в энергетической норме неравенство в лемме Сеа принимает вид

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}}$ для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}}$

(обратите внимание, что константа в правой части больше не присутствует).${\displaystyle \gamma /\alpha }$

Это означает, что решение в подпространстве является наилучшим приближением к решению в полном пространстве относительно энергетической нормы. Геометрически это означает, что является проекцией решения на подпространство относительно внутреннего произведения (см. соседнюю картинку).${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме . Поскольку${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq \gamma \|u-v\|^{2}}$ для всех в ,${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}}$

следует, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {\gamma }{\alpha }}}\|u-v\|}$ для всех в .${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}}$

Применим лемму Сеа для оценки погрешности вычисления решения эллиптического дифференциального уравнения методом конечных элементов .

Рассмотрим задачу нахождения функции, удовлетворяющей условиям ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}-u''=f{\mbox{ in }}[a,b]\\u(a)=u(b)=0\end{cases}}}$

где — заданная непрерывная функция .${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

Физически решение этой двухточечной краевой задачи представляет собой форму, которую принимает струна под воздействием силы, такой, что в каждой точке между и плотность силы равна (где — единичный вектор, направленный вертикально, а концы струны находятся на горизонтальной линии, см. соседнюю картинку). Например, эта сила может быть силой тяжести , когда — постоянная функция (поскольку сила гравитации одинакова во всех точках).${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle f}$

Пусть пространство Гильберта будет пространством Соболева , которое является пространством всех квадратично интегрируемых функций, определенных на , которые имеют слабую производную на , также являющуюся квадратично интегрируемой, и удовлетворяет условиям Скалярное произведение в этом пространстве равно${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b),}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v(a)=v(b)=0.}$

${\displaystyle (v,w)=\int _{a}^{b}\!\left(v(x)w(w)+v'(x)w'(x)\right)\,dx}$для всех и в${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V.}$

Умножив исходную краевую задачу на в этом пространстве и выполнив интегрирование по частям , получим эквивалентную задачу${\displaystyle v}$

${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$для всех в ,${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$

с

${\displaystyle a(u,v)=\int _{a}^{b}\!u'(x)v'(x)\,dx}$,

и

${\displaystyle L(v)=\int _{a}^{b}\!f(x)v(x)\,dx.}$

Можно показать, что билинейная форма и оператор удовлетворяют предположениям леммы Сеа.${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle L}$

Для того чтобы определить конечномерное подпространство рассмотрим разбиение${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V,}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

интервала и пусть — пространство всех непрерывных функций, аффинных на каждом подынтервале в разбиении (такие функции называются кусочно-линейными ). Кроме того, предположим, что любая функция из принимает значение 0 на концах Из этого следует, что — векторное подпространство, размерность которого равна (число точек в разбиении, не являющихся концами).${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n-1}$

Пусть будет решением задачи подпространства${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}$для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h},}$

поэтому можно рассматривать как кусочно-линейное приближение к точному решению. Согласно лемме Сеа, существует константа, зависящая только от билинейной формы, такая, что${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot ),}$

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq C\|u-v\|}$ для всех в${\displaystyle v}$${\displaystyle V_{h}.}$

Чтобы явно вычислить ошибку между и рассмотреть функцию в , которая имеет те же значения, что и в узлах разбиения (то есть получается линейной интерполяцией на каждом интервале из значений в конечных точках интервала). Можно показать с помощью теоремы Тейлора , что существует константа , которая зависит только от конечных точек и такая, что${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h},}$${\displaystyle \pi u}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \pi u}$${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$

${\displaystyle |u'(x)-(\pi u)'(x)|\leq Kh\|u''\|_{L^{2}(a,b)}}$

для всех в , где — наибольшая длина подынтервалов в разбиении, а норма в правой части — это норма L ² .${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle h}$${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$

Это неравенство затем дает оценку ошибки

${\displaystyle \|u-\pi u\|.}$

Тогда, подставляя в лемму Сеа, следует, что${\displaystyle v=\pi u}$

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq Ch\|u''\|_{L^{2}(a,b)},}$

где — константа, отличная от указанной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала ).${\displaystyle C}$${\displaystyle [a,b]}$

Этот результат имеет фундаментальное значение, поскольку он утверждает, что метод конечных элементов может быть использован для приблизительного вычисления решения нашей задачи, и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру разбиения. Лемма Сеа может быть применена в том же ключе для вывода оценок ошибок для задач с конечными элементами в более высоких размерностях (здесь область была в одном измерении), и при использовании полиномов более высокого порядка для подпространства${\displaystyle h.}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{h}.}$

• Сеа, Жан (1964). Приближение вариаций проблем с ограничениями (PDF) (кандидатская диссертация). Анналы Института Фурье 14. Том. 2. С. 345–444 . Проверено 27 ноября 2010 г.(Оригинальная работа J. Céa)

• Джонсон, Клаес (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6.

• Монк, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла . Oxford University Press. ISBN 0-19-850888-3.

• Roos, H.-G.; Stynes, M.; Tobiska, L. (1996). Численные методы для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений: проблемы конвекции-диффузии и потока . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-60718-8.

• Эрикссон, К.; Эстеп, Д.; Хансбо, П.; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения . Кембридж; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.

• Zeidler, Eberhard (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Бреннер, Сюзанна К.; Л. Риджуэй Скотт (2002). Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95451-1. OCLC  48892839.
• Ciarlet, Philippe G. (2002). Метод конечных элементов для эллиптических задач ((SIAM Classics reprint) ed.). ISBN 0-89871-514-8. OCLC  48892573.