Модель Буэно-Оровио-Черри-Фентона
Феноменологическая ионная модель желудочковых клеток человека

Модель Буэно-Оровио–Черри–Фентона , также называемая просто моделью Буэно-Оровио , является минимальной ионной моделью для желудочковых клеток человека . [1] Она относится к категории феноменологических моделей , поскольку описывает электрофизиологическое поведение сердечных мышечных клеток, не принимая во внимание детально лежащую в основе физиологию и специфические механизмы, происходящие внутри клеток. [2] [3]

Эта математическая модель воспроизводит как отдельные клетки , так и важные свойства на уровне ткани , учитывая физиологическое развитие потенциала действия и оценки скорости проводимости . [1] Она также предоставляет выбор конкретных параметров, полученных из алгоритмов подбора параметров MATLAB Optimization Toolbox , для моделирования эпикардиальных, эндокардиальных и миодмиокардиальных тканей. [1] Таким образом, можно сопоставить морфологии потенциала действия, наблюдаемые из экспериментальных данных, в трех различных областях желудочков человека. [1] Модель Буэно-Оровио–Черри–Фентона также способна описывать динамику возвратных и спиральных волн , которая возникает, например, во время тахикардии или других типов аритмий . [1]

С математической точки зрения он состоит из системы четырех дифференциальных уравнений . [1] Одно уравнение в частных производных , похожее на модель монодомена , для амерной версии трансмембранного потенциала , и три уравнения в обычных дифференциальных уравнениях , которые определяют эволюцию так называемых переменных пропускания , т.е. функций плотности вероятности , целью которых является моделирование доли открытых ионных каналов через клеточную мембрану . [1] [4] [2]

Математическое моделирование

Эволюция только во времени (т.е. случай одной сердечной клетки) переменных ионной модели Буэно-Оровио ты , в , ж , с {\displaystyle u,v,w,s}

Система четырех дифференциальных уравнений выглядит следующим образом: [ 1]

{ ∂ ты ∂ т = ∇ ⋅ ( Д ∇ ты ) − ( Дж. ф я + Дж. с о + Дж. с я ) в  Ω × ( 0 , Т ) ∂ в ∂ т = ( 1 − ЧАС ( ты − θ в ) ) ( в ∞ − в ) τ в − − ЧАС ( ты − θ в ) в τ в + в  Ω × ( 0 , Т ) ∂ ж ∂ т = ( 1 − ЧАС ( ты − θ ж ) ) ( ж ∞ − ж ) τ ж − − ЧАС ( ты − θ ж ) ж τ ж + в  Ω × ( 0 , Т ) ∂ с ∂ т = 1 τ с ( 1 + танг ⁡ ( к с ( ты − ты с ) ) 2 − с ) в  Ω × ( 0 , Т ) ( Д ∇ ты ) ⋅ Н = 0 на  ∂ Ω × ( 0 , Т ) ты = ты 0 , в = в 0 , ж = ж 0 , с = с 0 в  Ω × { 0 } {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla u)-(J_{fi}+J_{so}+J_{si})&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial t}}={\dfrac {(1-H(u-\theta _{v}))(v_{\infty }-v)}{\tau _{v}^{-}}}-{\dfrac {H(u-\theta _{v})v}{\tau _{v}^{+}}}&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\partial w}{\partial t}}={\dfrac {(1-H(u-\theta _{w}))(w_{\infty }-w)}{\tau _{w}^{-}}}-{\dfrac {H(u-\theta _{w})w}{\tau _{w}^{+}}}&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\partial s}{\partial t}}={\dfrac {1}{\tau _{s}}}\left({\dfrac {1+\tanh(k_{s}(u-u_{s}))}{2}}-s\right)&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\big (}D\nabla u{\big )}\cdot {\boldsymbol {N}}=0&{\text{on }}\partial \Omega \times (0,T)\\[5pt]u=u_{0},\,v=v_{0},\,w=w_{0},\,s=s_{0}&{\text{in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}

где - пространственная область, а - конечное время. Начальные условия: , , , . [1] Ω {\displaystyle \Omega } T {\displaystyle T} u 0 = 0 {\displaystyle u_{0}=0} v 0 = 1 {\displaystyle v_{0}=1} w 0 = 1 {\displaystyle w_{0}=1} s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

H ( x − x 0 ) {\displaystyle H(x-x_{0})} относится к функции Хевисайда, центрированной в . Асимметричный трансмембранный потенциал может быть перемасштабирован в мВ с помощью аффинного преобразования . [1] , и относится к переменным стробирования, где в частности может также использоваться как показатель внутриклеточной концентрации кальция (задается в асимметричном диапазоне [0, 1] вместо молярной концентрации ). [5] x 0 {\displaystyle x_{0}} u {\displaystyle u} V m V = 85.7 u − 84 {\displaystyle V_{mV}=85.7u-84} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w} s {\displaystyle s} s {\displaystyle s} C a i 2 + {\displaystyle {{Ca}_{i}}^{2+}}

J f i , J s o {\displaystyle J_{fi},J_{so}} и — это быстрые внутренние, медленные внешние и медленные внутренние потоки соответственно, определяемые следующими выражениями: [1] J s i {\displaystyle J_{si}}
J f i = − v H ( u − θ v ) ( u − θ v ) ( u u − u ) τ f i , {\displaystyle J_{fi}=-{\frac {vH(u-\theta _{v})(u-\theta _{v})(u_{u}-u)}{\tau _{fi}}},}
J s o = ( u − u o ) ( 1 − H ( u − θ w ) ) τ o + H ( u − θ w ) τ s o , {\displaystyle J_{so}={\frac {(u-u_{o})(1-H(u-\theta _{w}))}{\tau _{o}}}+{\frac {H(u-\theta _{w})}{\tau _{so}}},}
J s i = − H ( u − θ w ) w s τ s i , {\displaystyle J_{si}=-{\frac {H(u-\theta _{w})ws}{\tau _{si}}},}

Все вышеупомянутые токи ионной плотности частично амерны и выражаются в . [1] 1 seconds {\displaystyle {\dfrac {1}{\text{seconds}}}}

Различные наборы параметров, как показано в Таблице 1, могут быть использованы для воспроизведения развития потенциала действия эпикардиальных, эндокардиальных и среднемиокардиальных желудочковых клеток человека. Существуют некоторые константы модели, которые не указаны в Таблице 1, но которые могут быть выведены с помощью следующих формул: [1]

τ v − = ( 1 − H ( u − θ v − ) ) τ v 1 − + H ( u − θ v − ) τ v 2 − , {\displaystyle \tau _{v}^{-}=(1-H(u-\theta _{v}^{-}))\tau _{v_{1}}^{-}+H(u-\theta _{v}^{-})\tau _{v_{2}}^{-},}
τ w − = τ w 1 − + ( τ w 2 − − τ w 1 − ) ( 1 + tanh ⁡ ( k w − ( u − u w − ) ) ) / 2 , {\displaystyle \tau _{w}^{-}=\tau _{w_{1}}^{-}+(\tau _{w_{2}}^{-}-\tau _{w_{1}}^{-})(1+\tanh(k_{w}^{-}(u-u_{w}^{-})))/2,}
τ s o = τ s o 1 + ( τ s o 2 − τ s o 1 ) ( 1 + tanh ⁡ ( k s o ( u − u s o ) ) ) / 2 , {\displaystyle \tau _{so}=\tau _{{so}_{1}}+(\tau _{{so}_{2}}-\tau _{{so}_{1}})(1+\tanh(k_{so}(u-u_{so})))/2,}
τ s = ( 1 − H ( u − θ w ) ) τ s 1 + H ( u − θ w ) τ s 2 , {\displaystyle \tau _{s}=(1-H(u-\theta _{w}))\tau _{s_{1}}+H(u-\theta _{w})\tau _{s_{2}},}
τ o = ( 1 − H ( u − θ o ) ) τ o 1 + H ( u − θ o ) τ o 2 , {\displaystyle \tau _{o}=(1-H(u-\theta _{o}))\tau _{o_{1}}+H(u-\theta _{o})\tau _{o_{2}},}
v ∞ = 1 − H ( u − θ v − ) , {\displaystyle v_{\infty }=1-H(u-\theta _{v}^{-}),}
w ∞ = ( 1 − H ( u − θ o ) ) ( 1 − u / τ w ∞ ) + H ( u − θ o ) w ∞ ∗ . {\displaystyle w_{\infty }=(1-H(u-\theta _{o}))(1-u/\tau _{w_{\infty }})+H(u-\theta _{o})w_{\infty }^{*}.}

где временные константы, то есть выражены в секундах, тогда как и являются аразмерными. [1] τ v − , τ w − , τ s o , τ s , τ o {\displaystyle \tau _{v}^{-},\tau _{w}^{-},\tau _{so},\tau _{s},\tau _{o}} v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} w ∞ {\displaystyle w_{\infty }}

Коэффициент диффузии дает значение , которое получено в результате экспериментальных испытаний на тканях желудочков человека. [1] D {\displaystyle D} 1.171 ± 0.221 cm 2 seconds {\displaystyle 1.171\pm 0.221{\dfrac {{\text{cm}}^{2}}{\text{seconds}}}}

Для того чтобы вызвать развитие потенциала действия в определенном положении домена , в правую часть уравнения PDE обычно добавляется вынуждающий член , который представляет собой приложенный извне ток плотности и действует только в течение короткого промежутка времени. [5] Ω {\displaystyle \Omega } J app ( x , t ) {\displaystyle J_{\text{app}}({\boldsymbol {x}},t)}

Таблица 1: значения параметров для различных положений сердца человека [1]
Параметр u o {\displaystyle u_{o}} u u {\displaystyle u_{u}} θ v {\displaystyle \theta _{v}} θ w {\displaystyle \theta _{w}} θ v − {\displaystyle \theta _{v}^{-}} θ o {\displaystyle \theta _{o}} τ v 1 − {\displaystyle \tau _{v_{1}}^{-}} τ v 2 − {\displaystyle \tau _{v_{2}}^{-}} τ v + {\displaystyle \tau _{v}^{+}} τ w 1 − {\displaystyle \tau _{w_{1}}^{-}} τ w 2 − {\displaystyle \tau _{w_{2}}^{-}} k w − {\displaystyle k_{w}^{-}} u w − {\displaystyle u_{w}^{-}} τ w + {\displaystyle \tau _{w}^{+}} τ f i {\displaystyle \tau _{fi}} τ o 1 {\displaystyle \tau _{o_{1}}} τ o 2 {\displaystyle \tau _{o_{2}}} τ s o 1 {\displaystyle \tau _{{so}_{1}}} τ s o 2 {\displaystyle \tau _{{so}_{2}}} k s o {\displaystyle k_{so}} u s o {\displaystyle u_{so}} τ s 1 {\displaystyle \tau _{s_{1}}} τ s 2 {\displaystyle \tau _{s_{2}}} k s {\displaystyle k_{s}} u s {\displaystyle u_{s}} τ s i {\displaystyle \tau _{si}} τ w ∞ {\displaystyle \tau _{w_{\infty }}} w ∞ ∗ {\displaystyle w_{\infty }^{*}}
Единство меры------секундысекундысекундысекундысекунды--секундысекундысекундысекундысекундысекунды--секундысекунды--секунды--
Эпикард01.550.30,130,0060,00660е-31150e-31.4506e-360е-315e-3650,03200e-30.11e-3400e-36е-330.0181e-30.9957e-32.04580,652.7342e-316е-32.09940,90871.8875e-30,070,94
Эндокард01.560.30,130.20,00675е-310e-31.4506e-36е-3140e-32000,016280e-30.1e-3470e-36е-340е-31.2е-320,652.7342e-32е-32.09940,90872.9013e-30,02730,78
Миокард01.610.30,130.10,00580е-31.4506e-31.4506e-370е-38е-32000,016280e-30.078e-3410e-37e-391e-30.8e-32.10,62.7342e-34е-32.09940,90873.3849e-30.010,5

Слабая формулировка

Предположим, что относится к вектору, содержащему все переменные управления, т.е. , и содержит соответствующие три правые части ионной модели. Модель Буэно-Оровио–Черри–Фентона можно переписать в компактной форме: [6] z {\displaystyle {\boldsymbol {z}}} z = [ v , w , s ] T {\displaystyle {\boldsymbol {z}}=[v,w,s]^{T}} F : R 4 → R 3 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}

{ ∂ u ∂ t − ∇ ⋅ ( D ∇ u ) + ( J f i + J s o + J s i ) = 0 in  Ω × ( 0 , T ) ∂ z ∂ t = F ( u , z ) in  Ω × ( 0 , T ) {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}-\nabla \cdot (D\nabla u)+(J_{fi}+J_{so}+J_{si})=0&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\partial {\boldsymbol {z}}}{\partial t}}={\boldsymbol {F}}(u,{\boldsymbol {z}})&{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\\end{cases}}}

Пусть и будут двумя общими тестовыми функциями. [6] p ∈ U = H 1 ( Ω ) {\displaystyle p\in U=H^{1}(\Omega )} q ∈ W = [ L 2 ( Ω ) ] 3 {\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}=[L^{2}(\Omega )]^{3}}

Чтобы получить слабую формулировку : [6]

  • умножаем на первое уравнение модели и на уравнения эволюции переменных стробирования. Интегрируем оба члена всех уравнений в области : [6] p ∈ U {\displaystyle p\in U} q ∈ W {\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}} Ω {\displaystyle \Omega }
{ ∫ Ω d u ( t ) d t p d Ω − ∫ Ω ∇ ⋅ ( D ∇ u ( t ) ) p d Ω + ∫ Ω ( J f i + J s o + J s i ) p d Ω = 0 ∀ p ∈ U ∫ Ω d z ( t ) d t q d Ω = ∫ Ω F ( u ( t ) , z ( t ) ) q d Ω ∀ q ∈ W {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }{\dfrac {du(t)}{dt}}p\,d\Omega -\int _{\Omega }\nabla \cdot (D\nabla u(t))p\,d\Omega +\int _{\Omega }(J_{fi}+J_{so}+J_{si})p\,d\Omega =0&\forall p\in U\\[5pt]\displaystyle \int _{\Omega }{\dfrac {d{\boldsymbol {z}}(t)}{dt}}{\boldsymbol {q}}\,d\Omega =\int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}(u(t),{\boldsymbol {z}}(t)){\boldsymbol {q}}\,d\Omega &\forall {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}\end{cases}}}
− ∫ Ω ∇ ⋅ ( D ∇ u ( t ) ) p d Ω = ∫ Ω D ∇ u ( t ) ∇ p d Ω − ∫ ∂ Ω ( D ∇ u ( t ) ) ⋅ N p d Ω Neumann B.C. {\displaystyle -\int _{\Omega }\nabla \cdot (D\nabla u(t))p\,d\Omega =\int _{\Omega }D\nabla u(t)\nabla p\,d\Omega -{\cancelto {\text{Neumann B.C.}}{\int _{\partial \Omega }(D\nabla u(t))\cdot {\boldsymbol {N}}p\,d\Omega }}}

Наконец, слабая формулировка звучит так:

Найти и , , такие, что [6] u ∈ L 2 ( 0 , T ; H 1 ( Ω ) ) {\displaystyle u\in L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega ))} z ∈ L 2 ( 0 , T ; [ L 2 ( Ω ) ] 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {z}}\in L^{2}(0,T;[L^{2}(\Omega )]^{3})} ∀ t ∈ ( 0 , T ) {\displaystyle \forall t\in (0,T)}
{ ∫ Ω d u ( t ) d t p d Ω + ∫ Ω D ∇ u ( t ) ⋅ ∇ p d Ω + ∫ Ω ( J f i + J s o + J s i ) p d Ω = 0 ∀ p ∈ U ∫ Ω d z ( t ) d t q d Ω = ∫ Ω F ( u ( t ) , z ( t ) ) q d Ω ∀ q ∈ W u ( 0 ) = u 0 z ( 0 ) = z 0 {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {du(t)}{dt}}p\,d\Omega +\int _{\Omega }D\nabla u(t)\cdot \nabla p\,d\Omega +\int _{\Omega }(J_{fi}+J_{so}+J_{si})p\,d\Omega =0&\forall p\in U\\[5pt]\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {d{\boldsymbol {z}}(t)}{dt}}{\boldsymbol {q}}\,d\Omega =\int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}(u(t),{\boldsymbol {z}}(t)){\boldsymbol {q}}\,d\Omega &\forall {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}\\[5pt]u(0)=u_{0}\\[5pt]{\boldsymbol {z}}(0)={\boldsymbol {z}}_{0}\end{cases}}}

Численная дискретизация

Существует несколько методов дискретизации в пространстве этой системы уравнений, например, метод конечных элементов (МКЭ) или изогеометрический анализ (ИГА). [7] [8] [5] [6]

Дискретизация по времени может быть выполнена несколькими способами, например, с использованием формулы обратного дифференцирования (BDF) порядка или метода Рунге–Кутты (RK). [7] [5] σ {\displaystyle \sigma }

Дискретизация пространства с помощью МКЭ

Пусть будет тесселяцией вычислительной области посредством определенного типа элементов (таких как тетраэдры или гексаэдры ), с представлением выбранной меры размера одного элемента . Рассмотрим множество полиномов со степенью , меньшей или равной , чем над элементом . Определим как конечномерное пространство, размерность которого . Множество базисных функций называется . [5] T h {\displaystyle {\mathcal {T}}_{h}} Ω {\displaystyle \Omega } h {\displaystyle h} K ∈ T h {\displaystyle K\in {\mathcal {T}}_{h}} P r ( K ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{r}(K)} r {\displaystyle r} K {\displaystyle K} X h r = { f ∈ C 0 ( Ω ¯ ) : f | K ∈ P r ( K ) ∀ K ∈ T h } {\displaystyle {\mathcal {X}}_{h}^{r}=\{f\in C^{0}({\bar {\Omega }}):f|_{K}\in \mathbb {P} ^{r}(K)\,\,\forall K\in {\mathcal {T}}_{h}\}} N h = dim ⁡ ( X h r ) {\displaystyle N_{h}=\dim({\mathcal {X}}_{h}^{r})} X h r {\displaystyle {\mathcal {X}}_{h}^{r}} { ϕ i } i = 1 N h {\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i=1}^{N_{h}}}

Полудискретизированная формулировка первого уравнения модели выглядит так: найти проекцию решения на , , такую, что [5] u h = u h ( t ) = ∑ j = 1 N h u ¯ j ( t ) ϕ j {\displaystyle u_{h}=u_{h}(t)=\sum _{j=1}^{N_{h}}{\bar {u}}_{j}(t)\phi _{j}} u ( t ) {\displaystyle u(t)} X h r {\displaystyle {\mathcal {X}}_{h}^{r}} ∀ t ∈ ( 0 , T ) {\displaystyle \forall t\in (0,T)}

∫ Ω u ˙ h ϕ i d Ω + ∫ Ω ( D ∇ u h ) ⋅ ∇ ϕ i d Ω + ∫ Ω J ion ( u h , z h ) ϕ i d Ω = 0 for  i = 1 , … , N h {\displaystyle \int _{\Omega }{\dot {u}}_{h}\phi _{i}\,d\Omega +\int _{\Omega }(D\nabla u_{h})\cdot \nabla \phi _{i}\,d\Omega +\int _{\Omega }J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d\Omega =0\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,N_{h}}

с , полудискретизированной версией трех переменных управления, и представляет собой полный ток ионной плотности. [5] u h ( 0 ) = ∑ j = 1 N h ( ∫ Ω u 0 ϕ j d Ω ) ϕ j {\displaystyle u_{h}(0)=\sum _{j=1}^{N_{h}}\left(\int _{\Omega }u_{0}\phi _{j}\,d\Omega \right)\phi _{j}} z h = z h ( t ) = [ v h ( t ) , w h ( t ) , s h ( t ) ] T {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{h}={\boldsymbol {z}}_{h}(t)=[v_{h}(t),w_{h}(t),s_{h}(t)]^{T}} J ion ( u h , z h ) = J f i ( u h , z h ) + J s o ( u h , z h ) + J s i ( u h , z h ) {\displaystyle J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})=J_{fi}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})+J_{so}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})+J_{si}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})}

Пространственно-дискретизированную версию первого уравнения можно переписать как систему нелинейных ОДУ, установив и : [5] U h ( t ) = { u ¯ j ( t ) } j = 1 N h {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{h}(t)=\{{\bar {u}}_{j}(t)\}_{j=1}^{N_{h}}} Z h ( t ) = { z ¯ j ( t ) } j = 1 N h {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{h}(t)=\{{\bar {\boldsymbol {z}}}_{j}(t)\}_{j=1}^{N_{h}}}

{ M U ˙ h ( t ) + K U h ( t ) + J ion ( U h ( t ) , Z h ( t ) ) = 0 ∀ t ∈ ( 0 , T ) U h ( 0 ) = U 0 , h {\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {M} {\dot {\boldsymbol {U}}}_{h}(t)+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}}_{h}(t)+{\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {Z}}_{h}(t))=0&\forall t\in (0,T)\\{\boldsymbol {U}}_{h}(0)={\boldsymbol {U}}_{0,h}\end{cases}}}

где , и . [5] M i j = ∫ Ω ϕ j ϕ i d Ω {\displaystyle \mathbb {M} _{ij}=\int _{\Omega }\phi _{j}\phi _{i}\,d\Omega } K i j = ∫ Ω D ∇ ϕ j ⋅ ∇ ϕ i d Ω {\displaystyle \mathbb {K} _{ij}=\int _{\Omega }D\nabla \phi _{j}\cdot \nabla \phi _{i}\,d\Omega } ( J ion ( U h ( t ) , z h ( t ) ) ) i = ∫ Ω J ion ( u h , z h ) ϕ i d Ω {\displaystyle \left({\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {z}}_{h}(t))\right)_{i}=\int _{\Omega }J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d\Omega }

Нелинейный член можно трактовать по-разному, например, с помощью интерполяции переменных состояния (SVI) или интерполяции ионных токов (ICI). [9] [10] В рамках SVI, обозначая квадратурные узлы и веса общего элемента сетки через и , и вычисляются в квадратурных узлах: [5 ] J ion ( U h ( t ) , Z h ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {Z}}_{h}(t))} { x s K } s = 1 N q {\displaystyle \{{\boldsymbol {x}}_{s}^{K}\}_{s=1}^{N_{q}}} { ω s K } s = 1 N q {\displaystyle \{\omega _{s}^{K}\}_{s=1}^{N_{q}}} K ∈ T h {\displaystyle K\in {\mathcal {T}}_{h}} u h {\displaystyle u_{h}} z h {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{h}}

∫ Ω J ion ( u h , z h ) ϕ i d Ω ≈ ∑ K ∈ T h ( ∑ s = 1 N q J ion ( ∑ j = 1 N h u ¯ j ( t ) ϕ j ( x s K ) , ∑ j = 1 N h z ¯ j ( t ) ϕ j ( x s K ) ) ϕ i ( x s K ) ω s K ) {\displaystyle \int _{\Omega }J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d\Omega \approx \sum _{K\in {\mathcal {T}}_{h}}\left(\sum _{s=1}^{N_{q}}J_{\text{ion}}\left(\sum _{j=1}^{N_{h}}{\bar {u}}_{j}(t)\phi _{j}({\boldsymbol {x}}_{s}^{K}),\sum _{j=1}^{N_{h}}{\bar {\boldsymbol {z}}}_{j}(t)\phi _{j}({\boldsymbol {x}}_{s}^{K})\right)\phi _{i}({\boldsymbol {x}}_{s}^{K})\omega _{s}^{K}\right)}

Уравнения для трех переменных управления, которые являются ОДУ, решаются непосредственно во всех степенях свободы (DOF) тесселяции по отдельности, что приводит к следующей полудискретной форме: [5] T h {\displaystyle {\mathcal {T}}_{h}}

{ Z ˙ h ( t ) = F ( U h ( t ) , Z h ( t ) ) ∀ t ∈ ( 0 , T ) Z h ( 0 ) = Z 0 , h {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\boldsymbol {Z}}}_{h}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {Z}}_{h}(t))&\forall t\in (0,T)\\{\boldsymbol {Z}}_{h}(0)={\boldsymbol {Z}}_{0,h}\end{cases}}}

Дискретизация времени с помощью BDF (неявная схема)

Относительно временного интервала пусть будет выбранным временным шагом с числом подынтервалов. В итоге получается равномерное разбиение по времени. [7] ( 0 , T ] {\displaystyle (0,T]} Δ t = T N {\displaystyle \Delta t={\dfrac {T}{N}}} N {\displaystyle N} [ t 0 = 0 , t 1 = Δ t , … , t k , … , t N − 1 , t N = T ] {\displaystyle [t_{0}=0,t_{1}=\Delta t,\ldots ,t_{k},\ldots ,t_{N-1},t_{N}=T]}

На этом этапе полная дискретизация ионной модели Буэно-Оровио может быть выполнена как монолитным, так и раздельным образом. [11] Что касается первой методологии (монолитной), то в момент времени вся задача полностью решается за один шаг, чтобы получить с помощью либо метода Ньютона , либо итераций с фиксированной точкой : [11] t = t k {\displaystyle t=t^{k}} ( U h k + 1 , Z h k + 1 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})}

{ M α U h k + 1 − U ext , h k Δ t + K U h k + 1 + J ion ( U h k + 1 , Z h k + 1 ) = 0 α Z h k + 1 − Z ext , h k Δ t = F ( U h k + 1 , Z h k + 1 ) {\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {M} \alpha {\dfrac {{\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}-{\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}+{\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})=0\\\alpha {\dfrac {{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}-{\boldsymbol {Z}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})\end{cases}}}

где и являются экстраполяциями трансмембранного потенциала и переменных стробирования на предыдущих временных шагах относительно , ​​учитывая столько моментов времени, сколько и порядок схемы BDF. является коэффициентом, который зависит от порядка BDF . [11] U ext , h k {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}} Z ext , h k {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{{\text{ext}},h}^{k}} t k + 1 {\displaystyle t^{k+1}} σ {\displaystyle \sigma } α {\displaystyle \alpha } σ {\displaystyle \sigma }

Если используется раздельный метод, то уравнение для эволюции во времени трансмембранного потенциала и уравнения для переменных управления решаются численно отдельно: [11]

  • Во-первых, рассчитывается с использованием экстраполяции на предыдущих временных шагах для трансмембранного потенциала с правой стороны: [11] Z h k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}} U ext , h k {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}}
α Z h k + 1 − Z ext , h k Δ t = F ( U ext , h k , Z h k + 1 ) {\displaystyle \alpha {\dfrac {{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}-{\boldsymbol {Z}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k},{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})}
  • Во-вторых, вычисляется, используя значение, которое только что было вычислено: [11] U h k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}} Z h k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}}
M α U h k + 1 − U ext , h k Δ t + K U h k + 1 + J ion ( U h k + 1 , Z h k + 1 ) = 0 {\displaystyle \mathbb {M} \alpha {\dfrac {{\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}-{\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}+{\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})=0}

Другой возможной разделенной схемой была бы та, в которой сначала вычисляется , а затем используется в уравнениях для . [11] U h k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1}} Z h k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklmnop Bueno-Orovio, A.; Cherry, EM; Fenton, FH (август 2008 г.). «Минимальная модель для потенциалов действия желудочков человека в тканях». Журнал теоретической биологии . 253 (3): 544– 560. doi :10.1016/j.jtbi.2008.03.029. PMID  18495166.
  2. ^ ab Colli Franzone, P.; Pavarino, LF; Scacchi, S. (30 октября 2014 г.). Математическая сердечная электрофизиология . Springer. ISBN 978-3-319-04801-7.
  3. ^ Sundnes, J.; Lines, GT; Cai, X.; Nielsen, BF; Mardal, K.-A.; Tveito, A. (26 июня 2007 г.). Вычисление электрической активности сердца . Springer. ISBN 978-3-540-33437-8.
  4. ^ Кинер, Дж.; Снейд, Дж. (27 октября 2008 г.). Математическая физиология (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-79387-0.
  5. ^ abcdefghijk Gerbi, A.; Dede', L.; Quarteroni, A. (2018). «Монолитный алгоритм для моделирования электромеханики сердца в левом желудочке человека». Математика в инженерии . 1 (1): 1– 37. doi : 10.3934/Mine.2018.1.1 . hdl : 11311/1066015 .
  6. ^ abcdefg Pegolotti, L.; Dedè, L.; Quarteroni, A. (январь 2019 г.). «Изогеометрический анализ электрофизиологии человеческого сердца: численное моделирование уравнений бидомена на предсердиях» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 343 : 52–73 . Bibcode : 2019CMAME.343...52P. doi : 10.1016/j.cma.2018.08.032.
  7. ^ abc Quarteroni, A. (25 апреля 2014 г.). Численные модели для дифференциальных задач (Второе изд.). Springer. ISBN 978-88-470-5522-3.
  8. ^ Cottrell, J.; Hughes, TJR; Bazilevs, Y. (15 сентября 2009 г.). Изогеометрический анализ: на пути к интеграции САПР и FEA . Wiley. ISBN 978-0-470-74873-2.
  9. ^ Pathmanathan, P.; Mirams, GR; Southern, J.; Whiteley, JP (ноябрь 2011 г.). «Значительный эффект выбора метода интеграции ионного тока в электрофизиологическом моделировании сердца». Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии . 27 (11): 1751– 1770. doi :10.1002/cnm.1438.
  10. ^ Патманатан, П.; Бернабеу, МО; Нидерер, СА; Гаваган, DJ; Кей, Д. (август 2012 г.). «Вычислительное моделирование электрофизиологии сердца: объяснение изменчивости результатов различных численных решателей». Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии . 28 (8): 890–903 . doi :10.1002/cnm.2467. PMID  25099569.
  11. ^ abcdefg Герби, А.; Деде, Л.; Квартерони, А. Численная аппроксимация электрожидкостно-механических моделей сердца: стратегии взаимодействия для крупномасштабного моделирования (PDF) (докторская диссертация). Федеральная политехническая школа Лозанны.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bueno-Orovio–Cherry–Fenton_model&oldid=1248280620"