Личность Брахмагупты

В алгебре тождество Брахмагупты гласит, что для заданного произведение двух чисел формы само является числом этой формы. Другими словами , множество таких чисел замкнуто относительно умножения. А именно:${\displaystyle n}$${\displaystyle а^{2}+nb^{2}}$

${\displaystyle {\begin{align}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{align}}}$

Оба (1) и (2) можно проверить, расширив каждую часть уравнения. Также (2) можно получить из (1) или (1) из (2), заменив b на − b .

Это тождество справедливо как в кольце целых чисел , так и в кольце рациональных чисел , а в более общем случае — в любом коммутативном кольце .

Это тождество является обобщением так называемого тождества Фибоначчи (где n = 1), которое фактически встречается в « Арифметике » Диофанта (III, 19). Это тождество было заново открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил его и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелля . Его «Брахмаспхуттасиддханта» была переведена с санскрита на арабский язык Мухаммедом аль-Фазари , а затем переведена на латынь в 1126 году. ^[1] Это тождество позже появилось в «Книге квадратов » Фибоначчи в 1225 году.

В своем первоначальном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо уравнением Пелла , а именно x ²  −  Ny ²  = 1. Используя тождество в форме

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

он смог «составить» тройки ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ), которые были решениями x ²  −  Ny ²  =  k , чтобы сгенерировать новую тройку

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для x ²  −  Ny ²  = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такую ​​композицию на k ₁ k ₂ , можно было часто получить целые или «почти целые» решения. Общий метод решения уравнения Пелля, данный Бхаскарой II в 1150 году, а именно метод чакравала (циклический) , также был основан на этом тождестве. ^[2]

• Матрица Брахмагупты
• Полиномы Брахмагупты
• Тождество Брахмагупты–Фибоначчи
• Интерполяционная формула Брахмагупты
• Закон композиции Гаусса
• индийская математика
• Список индийских математиков

• Личность Брахмагупты в PlanetMath
• Идентификация Брахмагупты на MathWorld
• Коллекция алгебраических тождеств, архив 2012-03-06 на Wayback Machine