Процесс правого Бореля

В математической теории вероятностей правый процесс Бореля , названный в честь Эмиля Бореля , представляет собой особый вид непрерывного во времени случайного процесса .

Пусть будет локально компактным, сепарабельным, метрическим пространством. Обозначим через Борелевские подмножества из . Пусть будет пространством непрерывных справа отображений из в , имеющих левые пределы в , и для каждого обозначим через координатную карту в ; для каждого — значение в . Обозначим универсальное пополнение через . Для каждого пусть${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle t\in [0,\infty )}$${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle т}$${\displaystyle \omega \in \Омега }$${\displaystyle X_{t}(\omega )\in E}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle т}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\},}$

и тогда, пусть

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\}.}$

Для каждой измеримой по Борелю функции на , определим для каждого ,${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})\,dt\right].}$

Так как и отображение, заданное непрерывным справа, то для любой равномерно непрерывной функции отображение , заданное непрерывным справа.${\displaystyle P_{t}f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t})\right]}$${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$

Поэтому вместе с теоремой о монотонном классе для любой универсально измеримой функции отображение, заданное , совместно измеримо, то есть измеримо, и, следовательно, отображение также -измеримо для всех конечных мер на и на . Здесь - пополнение относительно меры произведения . Таким образом, для любой ограниченной универсально измеримой функции на отображение измеримо по Лебегу, и, следовательно, для каждого можно определить${\displaystyle f}$${\displaystyle (t,x)\rightarrow P_{t}f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty))}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$${\displaystyle \lambda \otimes \mu}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$${\displaystyle \альфа \in [0,\infty )}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}P_{t}f(x)dt.}$

Достаточно совместной измеримости, чтобы проверить, что является марковской резольвентой на , которая однозначно связана с марковской полугруппой . Следовательно, можно применить теорему Фубини , чтобы увидеть, что${\displaystyle \{U^{\alpha }:\alpha \in (0,\infty )\}}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})dt\right].}$

Ниже приведены определяющие свойства правых процессов Бореля: ^[1]

• Гипотеза Друате 1 :

Для каждой вероятностной меры на существует вероятностная мера на такая, что является марковским процессом с начальной мерой и переходной полугруппой .${\displaystyle \мю}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{\mu }}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}}^{*})}$${\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t}^{*},P^{\mu })}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

• Гипотеза Друате 2 :

Пусть будет -избыточным для резольвенты на . Тогда для каждой вероятностной меры на отображение, заданное как , почти наверное непрерывно справа на .${\displaystyle f}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle t\rightarrow f(X_{t})}$${\displaystyle P^{\mu }}$${\displaystyle [0,\infty )}$

• Шарп, Майкл (1988), Общая теория марковских процессов , ISBN 0126390606