Теорема Фридлендера–Иванца

В аналитической теории чисел теорема Фридлендера –Иванца утверждает, что существует бесконечно много простых чисел вида . Первые несколько таких простых чисел — это${\displaystyle а^{2}+b^{4}}$

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (последовательность A028916 в OEIS ).

Трудность этого утверждения заключается в очень разреженной природе этой последовательности: количество целых чисел вида меньше, чем примерно имеет порядок .${\displaystyle а^{2}+b^{4}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{3/4}}$

Теорема была доказана в 1997 году Джоном Фридлендером и Хенриком Иванцем . ^[1] Иванец был удостоен премии Островского 2001 года отчасти за свой вклад в эту работу. ^[2]

Теорема была уточнена DR Heath-Brown и Xiannan Li в 2017 году. ^[3] В частности, они доказали, что многочлен представляет бесконечно много простых чисел, когда переменная также должна быть простой. А именно, если простые числа меньше, чем в форме , то${\displaystyle а^{2}+b^{4}}$${\displaystyle б}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle а^{2}+b^{4},}$

${\displaystyle f(n)\sim v{\frac {x^{3/4}}{\log {x}}}}$

где

${\displaystyle v=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (5/4)}{\Gamma (7/4)}}\prod _{p\equiv 1{\bmod {4} }}{\frac {p-2}{p-1}}\prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}.}$

При b = 1 простые числа Фридлендера–Иванца имеют вид , образуя множество${\displaystyle а^{2}+1}$

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (последовательность A002496 в OEIS ).

Предполагается (одна из проблем Ландау ), что это множество бесконечно. Однако это не следует из теоремы Фридлендера–Иванца.

• Cipra, Barry Arthur (1998), «Просеивание простых чисел из тонкой руды», Science , 279 (5347): 31, doi :10.1126/science.279.5347.31, S2CID  118322959.