Теорема об острие клина

В математике теорема Боголюбова об острие клина подразумевает, что голоморфные функции на двух «клиньях» с общим «ребром» являются аналитическими продолжениями друг друга при условии, что они обе дают одну и ту же непрерывную функцию на ребре. Она используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана . Формулировка и первое доказательство теоремы были представлены ^{[1] [2]} Николаем Боголюбовым на Международной конференции по теоретической физике в Сиэтле, США (сентябрь 1956 г.), а также опубликованы в книге « Проблемы теории дисперсионных соотношений» . ^[3] Дальнейшие доказательства и обобщения теоремы были даны Ресом Йостом и Гарри Леманном (1957 г.), ^[4] Фрименом Дайсоном (1958 г.), Х. Эпштейном (1960 г.) и другими исследователями.

В одном измерении простой случай теоремы об острие клина можно сформулировать следующим образом.

• Предположим, что f — непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости , голоморфная в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости . Тогда она голоморфна всюду.

В этом примере два клина — это верхняя и нижняя полуплоскости, а их общее ребро — это вещественная ось . Этот результат можно доказать с помощью теоремы Мореры . Действительно, функция голоморфна, если ее интеграл по любому контуру равен нулю; контур, пересекающий вещественную ось, можно разбить на контуры в верхней и нижней полуплоскостях, и интеграл по ним равен нулю по предположению. ^{[5] [6]}

Более общий случай формулируется в терминах распределений. ^{[7] [8]} Это технически проще всего в случае, когда общей границей является единичная окружность в комплексной плоскости. В этом случае голоморфные функции f , g в областях и имеют лорановские разложения${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle r<|z|<1}$${\displaystyle 1<|z|<R}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\ infty }^{\infty }b_{n}z^{n}}$

абсолютно сходятся в тех же областях и имеют граничные значения распределения, заданные формальным рядом Фурье

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta },\,\,\,\,g(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}e^{in\theta }.}$

Их граничные значения распределения равны, если для всех n . Тогда элементарно, что общий ряд Лорана сходится абсолютно во всей области .${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$${\displaystyle r<|z|<R}$

В общем случае дан открытый интервал на действительной оси и голоморфные функции, определенные в и удовлетворяющие${\displaystyle I=(a,b)}$${\displaystyle f_{+},\,\,\ f_{-}}$${\displaystyle (a,b)\times (0,R)}$${\displaystyle (a,b)\times (-R,0)}$

${\displaystyle |f_{\pm }(x+iy)|<C|y|^{-N}}$

для некоторого неотрицательного целого числа N граничные значения могут быть определены как распределения на действительной оси по формулам ^{[9] [8]}${\displaystyle T_{\pm }}$${\displaystyle f_{\pm }}$

${\displaystyle \langle T_{\pm },\varphi \rangle =\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int f(x\pm i\varepsilon )\varphi (x)\,dx.}$

Существование можно доказать, заметив, что при гипотезе является -й комплексной производной голоморфной функции, которая продолжается до непрерывной функции на границе. Если f определяется как выше и ниже действительной оси, а F - распределение, определенное на прямоугольнике формулой${\displaystyle f_{\pm }(z)}$${\displaystyle (N+1)}$${\displaystyle f_{\pm }}$${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

${\displaystyle \langle F,\varphi \rangle =\iint f(x+iy)\varphi (x,y)\,dx\,dy,}$

тогда F равно вне действительной оси, а распределение индуцируется распределением на действительной оси.${\displaystyle f_{\pm }}$${\displaystyle F_{\overline {z}}}$${\textstyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$

В частности, если применимы гипотезы теоремы об острие клина, т.е. , то${\displaystyle T_{+}=T_{-}}$

${\displaystyle F_{\overline {z}}=0.}$

Из эллиптической регулярности следует, что функция F голоморфна по .${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

В этом случае эллиптическая регулярность может быть выведена непосредственно из того факта, что, как известно, обеспечивает фундаментальное решение для оператора Коши–Римана . ^[10]${\displaystyle (\pi z)^{-1}}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\overline {z}}}$

Используя преобразование Кэли между окружностью и вещественной прямой, этот аргумент можно перефразировать стандартным образом в терминах рядов Фурье и пространств Соболева на окружности. Действительно, пусть и будут голоморфными функциями, определенными снаружи и внутри некоторой дуги на единичной окружности, так что локально они имеют радиальные пределы в некотором пространстве Соболева, Тогда, полагая${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle D=z{\partial \over \partial z},}$

уравнения

${\displaystyle D^{k}F=f,\,\,\,D^{k}G=g}$

можно решить локально таким образом, что радиальные пределы G и F локально стремятся к той же функции в более высоком пространстве Соболева. Для достаточно больших k эта сходимость равномерна по теореме вложения Соболева . По аргументу для непрерывных функций, F и G , следовательно, соединяются, чтобы дать голоморфную функцию вблизи дуги, и, следовательно, то же самое делают f и g .

Клин — это произведение конуса с некоторым множеством.

Пусть будет открытым конусом в действительном векторном пространстве с вершиной в начале координат. Пусть E будет открытым подмножеством , называемым ребром. Обозначим W клин в комплексном векторном пространстве и обозначим W' противоположный клин . Затем два клина W и W' встречаются на ребре E , где мы отождествляем E с произведением E на вершину конуса.${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle E\times iC}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle E\times -iC}$

• Предположим, что f — непрерывная функция на объединении , которая голоморфна на обоих клиньях W и W' . Тогда теорема об острие клина утверждает, что f также голоморфна на E (или, точнее, ее можно расширить до голоморфной функции на окрестности E ).${\displaystyle W\cup E\cup W'}$

Условия справедливости теоремы можно ослабить. Не обязательно предполагать, что f определена на всем протяжении клиньев: достаточно предположить, что она определена вблизи края. Также не обязательно предполагать, что f определена или непрерывна на краю: достаточно предположить, что функции, определенные на любом из клиньев, имеют одинаковые граничные значения распределения на краю.

В квантовой теории поля распределения Вайтмана являются граничными значениями функций Вайтмана W ( z ₁ , ...,  z _n ), зависящими от переменных z _i в комплексификации пространства-времени Минковского. Они определены и голоморфны в клине, где мнимая часть каждого z _i − z _{i −1} лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Переставляя переменные, мы получаем n ! различных функций Вайтмана, определенных в n ! различных клиньях. Применяя теорему об острие клина (с краем, заданным набором полностью пространственноподобных точек), можно вывести, что все функции Вайтмана являются аналитическими продолжениями одной и той же голоморфной функции, определенной на связной области, содержащей все n ! клиньев. (Равенство граничных значений на крае, которое нам нужно для применения теоремы об острие клина, следует из аксиомы локальности квантовой теории поля.)

Теорема об острие клина имеет естественную интерпретацию на языке гиперфункций . Гиперфункция — это, грубо говоря, сумма граничных значений голоморфных функций , и ее также можно рассматривать как нечто вроде «распределения бесконечного порядка». Аналитический волновой фронт гиперфункции в каждой точке — это конус в кокасательном пространстве этой точки, и его можно рассматривать как описание направлений, в которых движется сингулярность в этой точке.

В теореме об острие клина у нас есть распределение (или гиперфункция) f на ребре, заданное как граничные значения двух голоморфных функций на двух клиньях. Если гиперфункция является граничным значением голоморфной функции на клине, то ее аналитический волновой фронт лежит в дуальном к соответствующему конусу. Таким образом, аналитический волновой фронт f лежит в дуальных к двум противоположным конусам. Но пересечение этих дуальных пусто, поэтому аналитический волновой фронт f пуст, что означает, что f является аналитической. Это теорема об острие клина.

В теории гиперфункций существует расширение теоремы об острие клина на случай, когда клиньев несколько вместо двух, называемое теоремой Мартино об острие клина . Подробности см. в книге Хермандера .

• Беренштейн, Карлос А.; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные: введение , Выпускные тексты по математике, т. 125 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4

• Боголюбов, НН ; Логунов, АА; Тодоров, ИТ (1975), Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля , Серия монографий по математической физике, т. 18, Рединг, Массачусетс : WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-0982-9, Збл  1114.81300.
• Боголюбов, НН ; Логунов, АА; Оксак, АИ; ИТ, Тодоров (1990), Общие принципы квантовой теории поля, Математическая физика и прикладная математика, т. 10, Дордрехт - Бостон - Лондон : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8, ЗБЛ  0732.46040

Связь с гиперфункциями описана в:

• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9, ЗБЛ  0712.35001.
• Рудин, Уолтер (1971), Лекции по теореме об острие клина , Серия региональных конференций CMBS по математике, т. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1655-4, MR  0310288, Zbl  0214.09001

О применении теоремы об острие клина к квантовой теории поля см.:

• Стритер, Р. Ф.; Уайтман , А. С. (2000), PCT, спин и статистика и все такое, Принстонские вехи в математике и физике (редакция 1978 г.), Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9, Збл  1026.81027

• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Теорема Боголюбова", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС