Бифуркация Богданова–Такенса

В теории бифуркаций , области в математике , бифуркация Богданова–Такенса является хорошо изученным примером бифуркации с коразмерностью два, что означает, что для возникновения бифуркации необходимо варьировать два параметра. Она названа в честь Рифката Богданова и Флориса Такенса , которые независимо и одновременно описали эту бифуркацию.

Система y' = f ( y ) претерпевает бифуркацию Богданова–Такенса, если она имеет неподвижную точку и линеаризация f вокруг этой точки имеет двойное собственное значение в нуле (при условии, что выполнены некоторые технические условия невырожденности).

Рядом происходят три бифуркации коразмерности один: бифуркация седло-узел , бифуркация Андронова–Хопфа и гомоклиническая бифуркация . Все связанные бифуркационные кривые встречаются в бифуркации Богданова–Такенса.

Нормальная форма бифуркации Богданова–Такенса имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=y_{2},\\y_{2}'&=\beta _{1}+\beta _{2}y_{1}+y_{ 1}^{2}\pm y_{1}y_{2}.\end{aligned}}}$

Существуют две вырожденные бифуркации Такенса–Богданова коразмерности три, также известные как бифуркации Дюмортье–Руссари–Сотомайора.

• Богданов, Р. «Бифуркации предельного цикла для семейства векторных полей на плоскости». Selecta Math. Soviet 1, 373–388, 1981.
• Кузнецов, Ю.А. Элементы прикладной теории бифуркаций . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1995.
• Такенс, Ф. «Вынужденные колебания и бифуркации». Комм. Математика. Инст. Рейксунив. Утрехт 2, 1–111, 1974.
• Дюмортье Ф., Руссари Р., Сотомайор Ж. и Золадек Х., Бифуркации плоских векторных полей , Lecture Notes in Math. т. 1480, 1–164, Springer-Verlag (1991).

• Гукенхаймер, Джон ; Юрий А. Кузнецов (2007). «Бифуркация Богданова – Такенса». Схоларпедия . 2 : 1854. doi : 10.4249/scholarpedia.1854 .