Блок (теория групп перестановок)

В этой статье не указаны источники . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . Найти источники:  Теория групп перестановок «Блок» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике и теории групп блочная система для действия группы G на множестве X — это разбиение X , которое является G -инвариантным . В терминах соответствующего отношения эквивалентности на X , G -инвариантность означает, что

x ~ y подразумевает gx ~ gy

для всех g ∈ G и всех x , y ∈ X. Действие G на X индуцирует естественное действие G на любую блочную систему для X.

Множество орбит G -множества X является примером блочной системы. Соответствующее отношение эквивалентности является наименьшей G -инвариантной эквивалентностью на X, такой что индуцированное действие на блочной системе является тривиальным.

Разбиение на одноэлементные множества является блочной системой, и если X непусто, то разбиение на одно множество X само по себе также является блочной системой (если X является одноэлементным множеством, то эти два разбиения идентичны). Транзитивное (и, следовательно, непустое) G -множество X называется примитивным, если оно не имеет других блочных систем. Для непустого G -множества X требование транзитивности в предыдущем определении необходимо только в случае, когда | X |= 2 и групповое действие тривиально.

Каждый элемент некоторой блочной системы называется блоком . Блок можно охарактеризовать как непустое подмножество B множества X, такое, что для всех g ∈ G либо

• gB = B ( g исправляет B ) или
• gB ∩ B = ∅ ( g полностью перемещает B ).

Доказательство: Предположим, что B — блок, и для некоторого g ∈ G выполняется gB ∩ B ≠ ∅. Тогда для некоторого x ∈ B выполняется gx ~ x . Пусть y ∈ B , тогда x ~ y и из G -инвариантности следует, что gx ~ gy . Таким образом, y ~ gy и, следовательно, gB ⊆ B. Условие gx ~ x также влечет x ~ g ^{− 1} x , и тем же способом следует, что g ^{− 1} B ⊆ B , и, таким образом, B ⊆ gB . В другую сторону, если множество B удовлетворяет данному условию, то система { gB | g ∈ G } вместе с дополнением объединения этих множеств является блочной системой, содержащей B.

В частности, если B — блок, то gB — блок для любого g ∈ G , а если G действует транзитивно на X , то множество { gB | g ∈ G } является блочной системой на X.

Если B — блок, то стабилизатором B является подгруппа

G _B = { g ∈ G | gB = B }.

Стабилизатор блока содержит стабилизатор G _x каждого из его элементов. Обратно, если x ∈ X и H — подгруппа G , содержащая G _x , то орбита H . x элемента x под H — это блок, содержащийся в орбите G . x и содержащий x .

Для любого x ∈ X , блока B, содержащего x , и подгруппы H ⊆ G , содержащей G _x, это G _B . x = B ∩ G . x и G _{H . x} = H .

Отсюда следует, что блоки, содержащие x и содержащиеся в G . x, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами G, содержащими G _x . В частности, если G -множество X транзитивно, то блоки, содержащие x, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами G , содержащими G _x . В этом случае G -множество X примитивно тогда и только тогда, когда либо действие группы тривиально (тогда X = { x }), либо стабилизатор G _x является максимальной подгруппой G ( тогда стабилизаторы всех элементов X являются максимальными подгруппами G , сопряженными с G _{x ,} поскольку G _gx = g ⋅ G _x ⋅ g ^{− 1} ).

• Отношение конгруэнтности