Уравнения Блоха

В физике и химии, в частности в ядерном магнитном резонансе (ЯМР), магнитно-резонансной томографии (МРТ) и электронном спиновом резонансе (ЭПР), уравнения Блоха представляют собой набор макроскопических уравнений, которые используются для расчета ядерной намагниченности M = ( M _x , M _y , M _z ) как функции времени при наличии времен релаксации T ₁ и T _2. Это феноменологические уравнения, которые были введены Феликсом Блохом в 1946 году . ^[1] Иногда их называют уравнениями движения ядерной намагниченности. Они аналогичны уравнениям Максвелла–Блоха .

Пусть M ( t ) = ( M _x ( t ), M _y ( t ), M _z ( t )) — ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха будут иметь вид:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

где γ — гиромагнитное отношение , а B ( t ) = ( B _x ( t ), B _y ( t ), B ₀ + Δ B _z (t)) — магнитное поле, испытываемое ядрами. Компонента z магнитного поля B иногда состоит из двух членов:

• один, B ₀ , постоянен во времени,
• другой, Δ B _z (t), может зависеть от времени. Он присутствует в магнитно-резонансной томографии и помогает в пространственном декодировании сигнала ЯМР.

M ( t ) × B ( t ) — это векторное произведение этих двух векторов. M ₀ — это стационарная ядерная намагниченность (то есть, например, когда t → ∞); она находится в направлении z .

При отсутствии релаксации (то есть как T ₁ , так и T ₂ → ∞) приведенные выше уравнения упрощаются до:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}}$

или, в векторной записи:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)}$

Это уравнение ларморовской прецессии ядерной намагниченности M во внешнем магнитном поле B.

Условия релаксации,

${\displaystyle \left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)}$

представляют собой установленный физический процесс поперечной и продольной релаксации ядерной намагниченности М.

Эти уравнения не являются микроскопическими : они не описывают уравнения движения отдельных ядерных магнитных моментов. Те управляются и описываются законами квантовой механики .

Уравнения Блоха являются макроскопическими : они описывают уравнения движения макроскопической ядерной намагниченности, которые можно получить путем суммирования всех ядерных магнитных моментов в образце.

Раскрытие скобок векторного произведения в уравнениях Блоха приводит к:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{y}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{z}(t)B_{x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{x}(t)B_{y}(t)-M_{y}(t)B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

Вышеуказанная форма еще больше упрощается, если предположить, что

${\displaystyle M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ and }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}\,}$

где i = √ −1 . После некоторой алгебры получаем:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}}$.

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

где

${\displaystyle {\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}}$.

является комплексно сопряженной величиной M _xy . Действительная и мнимая части M _xy соответствуют M _x и M _y соответственно. M _xy иногда называют поперечной ядерной намагниченностью .

Уравнения Блоха можно переписать в матрично-векторной форме:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)}$

Во вращающейся системе отсчета легче понять поведение ядерной намагниченности M. Это мотивация:

Предположим, что:

• при t = 0 поперечная ядерная намагниченность M _xy (0) испытывает постоянное магнитное поле B ( t ) = (0, 0, B ₀ );
• B ₀ положительный;
• отсутствуют продольные и поперечные релаксации (то есть T ₁ и T ₂ → ∞).

Тогда уравнения Блоха упрощаются до:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma M_{xy}(t)B_{0}}$,

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=0}$.

Это два (не связанных) линейных дифференциальных уравнения . Их решение:

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}}$,

${\displaystyle M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}\,}$.

Таким образом, поперечная намагниченность, M _xy , вращается вокруг оси z с угловой частотой ω ₀ = γ B ₀ по часовой стрелке (это связано с отрицательным знаком в показателе степени). Продольная намагниченность, M _{z ,} остается постоянной во времени. Точно так же поперечная намагниченность выглядит для наблюдателя в лабораторной системе отсчета (то есть для неподвижного наблюдателя ).

M _xy ( t ) следующим образом переводится в наблюдаемые величины M _x ( t ) и M _y ( t ): Так как

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}=M_{xy}(0)\left[\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\right]}$

затем

${\displaystyle M_{x}(t)={\text{Re}}\left(M_{xy}(t)\right)=M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t)}$,

${\displaystyle M_{y}(t)={\text{Im}}\left(M_{xy}(t)\right)=-M_{xy}(0)\sin(\omega _{0}t)}$,

где Re( z ) и Im( z ) — функции, возвращающие действительную и мнимую часть комплексного числа z . В этом расчете предполагалось, что M _xy (0) — действительное число.

Это заключение предыдущего раздела: в постоянном магнитном поле B ₀ вдоль оси z поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг этой оси по часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ . Если бы наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой Ω, то M _xy показалось бы ему вращающимся с угловой частотой ω ₀ - Ω. В частности, если бы наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ , то поперечная намагниченность M _xy показалась бы ему неподвижной.

Математически это можно выразить следующим образом:

• Пусть ( x , y , z ) — декартова система координат лабораторной ( или стационарной ) системы отсчета , и
• ( x ′, y ′, z ′) = ( x ′, y ′, z ) — декартова система координат, вращающаяся вокруг оси z лабораторной системы отсчета с угловой частотой Ω. Это называется вращающейся системой отсчета . Физические переменные в этой системе отсчета будут обозначаться штрихом.

Очевидно:

${\displaystyle M_{z}'(t)=M_{z}(t)\,}$.

Что такое M _xy ′( t )? Выражая аргумент в начале этого раздела математическим способом:

${\displaystyle M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)\,}$.

Каково уравнение движения M _xy ′( t )?

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'(t)}$

Подставим из уравнения Блоха в лабораторную систему отсчета:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}}$

Но по предположению в предыдущем разделе: B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ + Δ B _z ( t ) и M _z ( t ) = M _z ′( t ). Подставим в уравнение выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}}$

Вот значение членов в правой части этого уравнения:

• i (Ω - ω ₀ ) M _xy ′( t ) - ларморовский член в системе отсчета, вращающейся с угловой частотой Ω. Обратите внимание, что он становится равным нулю, когда Ω = ω ₀ .
• Термин - i γ Δ B _z ( t ) M _xy ′( t ) описывает влияние неоднородности магнитного поля (выраженной как Δ B _z ( t )) на поперечную ядерную намагниченность; он используется для объяснения T ₂ ^* . Это также термин, который стоит за МРТ : он генерируется системой градиентных катушек.
• Коэффициент i γ B _xy ′( t ) M _z ( t ) описывает влияние РЧ-поля ( фактор B _xy ′( t )) на ядерную намагниченность. Пример см. ниже.
• - M _xy ′( t ) / T ₂ описывает потерю когерентности поперечной намагниченности.

Аналогично, уравнение движения M _z во вращающейся системе отсчета имеет вид:

${\displaystyle {\frac {dM_{z}'(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}(t)}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}}$

Когда внешнее поле имеет вид:

${\displaystyle B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t}$

${\displaystyle B_{y}(t)=-B_{1}\sin \omega t}$

${\displaystyle B_{z}(t)=B_{0}}$,

Мы определяем:

${\displaystyle \epsilon :=\gamma B_{1}}$и ,${\displaystyle \Delta :=\gamma B_{0}-\omega }$

и получаем (в матрично-векторной записи):

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &-\epsilon \\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\-\epsilon &-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)}$

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• RF отсутствует, то есть B _xy '= 0.
• Вращающаяся система отсчёта вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для поперечной ядерной намагниченности M _xy '( t ) упрощается до:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение

${\displaystyle M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}}$.

где M _xy '(0) — поперечная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что когда вращающаяся система отсчета вращается точно с частотой Лармора (в этом заключается физический смысл приведенного выше предположения Ω = ω ₀ ), вектор поперечной ядерной намагниченности M _xy ( t ) оказывается неподвижным.

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• RF отсутствует, то есть B _xy '= 0.
• Вращающаяся система отсчёта вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для продольной ядерной намагниченности M _z ( t ) упрощается до:

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=-{\frac {M_{z}(t)-M_{z,\mathrm {eq} }}{T_{1}}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение

${\displaystyle M_{z}(t)=M_{z,\mathrm {eq} }-[M_{z,\mathrm {eq} }-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}}}$

где M _z (0) — продольная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• При t = 0 подается РЧ-импульс постоянной амплитуды и частоты ω _{0. То есть} B' _xy ( t ) = B' _xy постоянна. Длительность этого импульса составляет τ.
• Вращающаяся система отсчёта вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .
• T ₁ и T ₂ → ∞. Практически это означает, что τ ≪ T ₁ и T ₂ .

Тогда для 0 ≤ t ≤ τ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i\gamma B_{xy}'M_{z}(t)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}\right)}$

• Уравнение Блоха–Торри представляет собой обобщение уравнений Блоха, которое включает дополнительные члены, обусловленные переносом намагниченности путем диффузии. ^[2]

• Чарльз Киттель , Введение в физику твердого тела , John Wiley & Sons, 8-е издание (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Глава 13 посвящена магнитному резонансу.